미적분 예제

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = \frac{π}{2} x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ 이므로 $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = \frac{π}{2} x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{π}{2} x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

단계 1.1.2

$\frac{π}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{π}{2} x$ 의 미분은 $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{π}{2} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2}$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{π}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

단계 2.2

$\frac{2}{π}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

단계 2.3

$\cos^{2} (u_{1})$ 와 $\frac{2}{π}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

단계 2.4

$\cos^{2} (u_{1})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

단계 3

$\frac{2}{π}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{π}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 9

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 9.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 9.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 9.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 9.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 9.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 10

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 12

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 14.1

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{π}{2} x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 14.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

단계 14.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{π}{2} x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.1.1

$\frac{π}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

단계 15.1.2

$\frac{π}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

단계 15.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

단계 15.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

단계 15.1.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (π x)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

단계 15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

단계 15.3

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.3.1

$π x$ 에서 $π$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

단계 15.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

단계 15.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

단계 15.4

$\frac{1}{π}$ 에 $\frac{\sin (π x)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

단계 15.5

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$