미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

단계 1

먼저 $u_{2} = \cos (4 t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{2} = \cos (4 t)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (4 t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

단계 1.1.2

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = 4 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

단계 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 t$ 로 바꿉니다.

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 t$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.1.3.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

단계 1.1.3.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \sin (4 t)$

단계 1.2

$u_{2} = \cos (4 t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 1.3.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u_{2} = \cos (4 t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

단계 1.5.1.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

단계 1.5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.5.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

단계 2.2

$3^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

단계 3

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

단계 5

$3^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ 입니다.

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

단계 6

$\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$0$ , $1$ 일 때, $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

단계 7.2.2

지수값을 계산합니다.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

단계 7.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

단계 7.2.4

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

단계 7.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

단계 7.2.6

$\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

단계 7.2.7

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{2}{\ln (3)}$ 을 곱합니다.

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

단계 7.2.8

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.8.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

단계 7.2.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.8.2.1

$4 \ln (3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

단계 7.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

단계 7.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

단계 7.2.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

단계 7.2.10

$\frac{1}{2 \ln (3)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

소수 형태:

$0.45511961 \dots$