미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

단계 2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

단계 2.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ 을 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 를 $1 + \tan^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

단계 4

먼저 $u = \tan (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec^{2} (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = \tan (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\tan (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 4.1.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\sec^{2} (x)$

단계 4.2

$u = \tan (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \tan (0)$

단계 4.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = \tan (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

단계 4.5

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$u]_{0}^{1}$ 와 $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ 을 묶습니다.

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

단계 8.2

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$1$ , $0$ 일 때, $u + \frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.4

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

단계 9.2.6

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.6.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

단계 9.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

단계 9.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

단계 9.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

단계 9.2.6.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

단계 9.2.7

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

단계 9.2.8

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

단계 9.2.9

$\frac{4}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (\frac{4}{3})$

단계 9.2.10

$5$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

단계 9.2.11

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{3}$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{20}{3}$

소수 형태:

$6.\overline{6}$

대분수 형식:

$6 \frac{2}{3}$