미적분 예제

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (2 x + 1) d x$ 이므로 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} + x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 1$

단계 1.2

$u = x^{2} + x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 + 0$

단계 1.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = x^{2} + x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 1.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{2} \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

$2$ 에 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2.4

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.3

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

단계 4.2.6

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

단계 4.2.7

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

단계 4.2.8

$0$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0$

단계 4.2.9

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

소수 형태:

$1.88561808 \dots$

단계 6