미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = \cos (2 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{2} = \cos (2 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (2 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 1.1.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

단계 1.1.3.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (2 x)$

단계 1.2

$u_{2} = \cos (2 x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 1.3.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u_{2} = \cos (2 x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

단계 1.5.1.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

단계 1.5.1.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

단계 1.5.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

단계 3

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 6.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.2

조합합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.3

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.3.1

$2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.3.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.5.5

지수값을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

단계 7.1.6

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

단계 7.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

단계 7.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 7.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

단계 7.3.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

단계 7.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

단계 7.5

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

단계 7.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

단계 7.7

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ 을 곱합니다.

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단계 7.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

단계 7.7.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

단계 7.7.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

단계 7.7.4

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{16}$

소수 형태:

$0.0625$