미적분 예제

$\int \frac{y - 2}{y^{2} + 2 y - 3} d y$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

AC 방법을 이용하여 $y^{2} + 2 y - 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 1, 3$

단계 1.1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{y - 2}{(y - 1) (y + 3)}$

단계 1.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{y - 1}$

단계 1.1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$

단계 1.1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(y - 1) (y + 3)$ 입니다.

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.5

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.6

$y + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.6.2

$y - 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y - 2 = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$y - 2 = \frac{A (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.7.1.2

$(A) (y + 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y - 2 = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 2 = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.7.3

$A$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y - 2 = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.7.4

$y + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$y - 2 = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

단계 1.1.7.4.2

$(B) (y - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y - 2 = A y + 3 A + (B) (y - 1)$

단계 1.1.7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 2 = A y + 3 A + B y + B \cdot - 1$

단계 1.1.7.6

$B$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y - 2 = A y + 3 A + B y - 1 \cdot B$

단계 1.1.7.7

$- 1 B$ 을 $- B$ 로 바꿔 씁니다.

$y - 2 = A y + 3 A + B y - B$

단계 1.1.8

$3 A$ 를 옮깁니다.

$y - 2 = A y + B y + 3 A - B$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $y$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A + B$

단계 1.2.2

$y$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 2 = 3 A - 1 B$

단계 1.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$1 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$A + B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A - 1 B$

단계 1.3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

단계 1.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $1 - B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$- 2 = 3 A - 1 B$ 의 $A$ 를 모두 $1 - B$ 로 바꿉니다.

$- 2 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$3 (1 - B) - 1 B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2.1.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2.1.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 2 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2.1.1.4

$- 1 B$ 을 $- B$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.2.2.1.2

$- 3 B$ 에서 $B$ 을 뺍니다.

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3

$- 2 = 3 - 4 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$3 - 4 B = - 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 - 4 B = - 2$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 4 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.2.2

$- 2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.3

$- 4 B = - 5$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.1

$- 4 B = - 5$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.3.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

단계 1.3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

단계 1.3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $\frac{5}{4}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$A = 1 - B$ 의 $B$ 를 모두 $\frac{5}{4}$ 로 바꿉니다.

$A = 1 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

단계 1.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

$1 - (\frac{5}{4})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$A = \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

단계 1.3.4.2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A = \frac{4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

단계 1.3.4.2.1.3

$4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$A = \frac{- 1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

단계 1.3.4.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

단계 1.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{5}{4}$

단계 1.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{- \frac{1}{4}}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

단계 1.5.2

$\frac{1}{y - 1}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(y - 1) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

단계 1.5.3

$y - 1$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

단계 1.5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{y + 3}$

단계 1.5.5

$\frac{5}{4}$ 에 $\frac{1}{y + 3}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

단계 3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

단계 5

먼저 $u_{1} = y - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u_{1} = y - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$y - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

단계 5.1.4

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

단계 6

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

단계 7

$\frac{5}{4}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{y + 3} d y$

단계 8

먼저 $u_{2} = y + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u_{2} = y + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$y + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

단계 8.1.4

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 8.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 8.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

단계 10

간단히 합니다.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{1}$ 를 모두 $y - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 11.2

$u_{2}$ 를 모두 $y + 3$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| y + 3 |) + C$