미적분 예제

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

단계 1

먼저 $u = 3 - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 - y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 1.1.2.2

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 1 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 1$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$u^{\frac{2}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

단계 2.2

${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

단계 2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

단계 2.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

단계 2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3

$(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.4

괄호를 옮깁니다.

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.6

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.7

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.9

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.11

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.12

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 3.13

$- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ 에서 $3 u^{- \frac{2}{3}}$ 을 뺍니다.

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 6

$- 6$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{2}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $3 u^{\frac{1}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

단계 8.2

$- 6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $3 - y$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$