미적분 예제

$\int x^{2} \cos (7 x) d x$

단계 1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \cos (7 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} (\frac{1}{7} \sin (7 x)) - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{7}$ 와 $\sin (7 x)$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{\sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

단계 2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{\sin (7 x)}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

단계 3

$\frac{1}{7} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - (\frac{1}{7} \cdot 2 \int \sin (7 x) (x) d x)$

단계 4

$\frac{1}{7}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} \int \sin (7 x) (x) d x$

단계 5

$u = x$ 이고 $d v = \sin (7 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{1}{7} \cos (7 x)) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\cos (7 x)$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{\cos (7 x)}{7}) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

단계 6.2

$x$ 와 $\frac{\cos (7 x)}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

단계 6.3

$\cos (7 x)$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - - \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + 1 \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

단계 8.2

$\int \frac{\cos (7 x)}{7} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

단계 9

$\frac{1}{7}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (7 x) d x)$

단계 10

먼저 $u = 7 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 7 d x$ 이므로 $\frac{1}{7} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.1

$u = 7 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$7 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [7 x]$

단계 10.1.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cdot 1$

단계 10.1.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (u) \frac{1}{7} d u)$

단계 11

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \frac{\cos (u)}{7} d u)$

단계 12

$\frac{1}{7}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int \cos (u) d u))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{1}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7 \cdot 7} \int \cos (u) d u)$

단계 13.2

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} \int \cos (u) d u)$

단계 14

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$ 을 $\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

단계 15.2

간단히 합니다.

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단계 15.2.1

$\frac{1}{7}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{7} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

단계 15.2.2

$\frac{x^{2}}{7}$ 와 $\sin (7 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

단계 15.2.3

$x$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x}{7} \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

단계 15.2.4

$\cos (7 x)$ 와 $\frac{x}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

단계 15.2.5

$\frac{1}{49}$ 와 $\sin (u)$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) + C$

단계 15.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot \frac{7}{7} + C$

단계 15.2.7

$- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} + \frac{- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

단계 15.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

단계 15.2.9

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 7 (\frac{2}{7}) (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

단계 15.2.10

$- 7$ 와 $\frac{2}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 7 \cdot 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

단계 15.2.11

$- 7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 14}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

단계 15.2.12

$- 14$ 및 $7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.2.12.1

$- 14$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

단계 15.2.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 15.2.12.2.1

$7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 (1)} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

단계 15.2.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

단계 15.2.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

단계 15.2.12.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

단계 16

$u$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

$\frac{\cos (7 x) x}{7}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

단계 17.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7}) - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.2

$- 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7})$ 을 곱합니다.

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단계 17.2.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + 2 \frac{x \cos (7 x)}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.2.2

$2$ 와 $\frac{x \cos (7 x)}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.3

$- 2$ 와 $\frac{\sin (7 x)}{49}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} + \frac{- 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 x \cos (7 x)}{7} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2} \sin (7 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{49}{49}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + x^{2} \sin (7 x) \cdot \frac{49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.6

$x^{2} \sin (7 x)$ 와 $\frac{49}{49}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.9

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $49$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 17.2.9.1

$\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ 에 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.9.2

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{49} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.11

인수분해된 형태로 $\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}$ 를 다시 씁니다.

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단계 17.2.11.1

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.2.11.2

$x^{2} \sin (7 x)$ 의 왼쪽으로 $49$ 이동하기

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

단계 17.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7} + C$

단계 17.4

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7}$ 을 곱합니다.

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단계 17.4.1

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}$ 에 $\frac{1}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49 \cdot 7} + C$

단계 17.4.2

$49$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{343} + C$

단계 17.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{343} (14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)) + C$