미적분 예제

$\int \frac{x}{2 x - 1} d x$

단계 1

$x$ 을 $2 x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$x$

$0$

단계 1.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{1}{2}$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - \frac{1}{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$
					+	$\frac{1}{2}$

단계 1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

단계 5

먼저 $u = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 5.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 6.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

단계 9

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$