미적분 예제

$f (x) = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

단계 1

식 $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 4, x = - 1$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 1$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 1$ 이므로 $x = - 1$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 1$

단계 3

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 4

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 5

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 6

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 6.1.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

단계 6.1.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1)}{x^{2} + 5 x + 4}$

단계 6.1.1.2

최대공약수 $3 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} - 16)}{x^{2} + 5 x + 4}$

단계 6.1.1.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2})}{x^{2} + 5 x + 4}$

단계 6.1.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{x^{2} + 5 x + 4}$

단계 6.1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $4$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$1, 4$

단계 6.1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{(x + 1) (x + 4)}$

단계 6.1.3

$x + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{(x + 1) (x + 4)}$

단계 6.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(3 x - 1) (x - 4)}{x + 1}$

단계 6.2

$(3 x - 1) (x - 4)$ 을 전개합니다.

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단계 6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x (x - 4) - 1 (x - 4)}{x + 1}$

단계 6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 1 (x - 4)}{x + 1}$

단계 6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

단계 6.2.4

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

단계 6.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

단계 6.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

단계 6.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

단계 6.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

단계 6.2.9

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 12 x - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

단계 6.2.10

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 12 x - 1 x + 4}{x + 1}$

단계 6.2.11

$- 12 x$ 에서 $1 x$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{x + 1}$

단계 6.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$13 x$

$4$

단계 6.4

피제수 $3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$

단계 6.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

단계 6.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x^{2} + 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

단계 6.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$

단계 6.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$

단계 6.9

피제수 $- 16 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$

단계 6.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					-	$16 x$	-	$16$

단계 6.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 16 x - 16$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					+	$16 x$	+	$16$

단계 6.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					+	$16 x$	+	$16$
							+	$20$

단계 6.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$3 x - 16 + \frac{20}{x + 1}$

단계 6.14

답을 다항식 부분과 나머지 부분으로 나눕니다.

$3 x - 16 + \frac{20 x + 80}{x^{2} + 5 x + 4}$

단계 6.15

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = 3 x - 16$

단계 7

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 1$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = 3 x - 16$

단계 8