미적분 예제

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

단계 1

$u = \arctan (t)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

단계 2

$t$ 와 $\frac{1}{t^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

단계 3

먼저 $u = t^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 t d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = t^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$t^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 3.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

단계 3.1.4

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 t + 0$

단계 3.1.5

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 t$

단계 3.2

$u = t^{2} + 1$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

단계 3.3

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

단계 3.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

단계 3.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

단계 3.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

단계 3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = x^{1} + 1$

단계 3.3.5

간단히 합니다.

$u_{lower} = x + 1$

단계 3.4

$u = t^{2} + 1$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

단계 3.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

단계 3.5.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 4.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

단계 6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$2 x$ , $\sqrt{x}$ 일 때, $\arctan (t) t$ 값을 계산합니다.

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

단계 7.2

$4 x^{2} + 1$ , $x + 1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

단계 7.3

괄호를 제거합니다.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

단계 8

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

단계 9.1.2

$\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

단계 9.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 \arctan (2 x) x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

단계 9.3

$2 \arctan (2 x) x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

단계 9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

단계 9.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$