미적분 예제

$\int t^{2} \sin (B t) d t$

단계 1

$u = t^{2}$ 이고 $d v = \sin (B t)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$t^{2} (- \frac{\cos (B t)}{B}) - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$t^{2}$ 와 $\frac{\cos (B t)}{B}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

단계 2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - 2 \frac{\cos (B t)}{B} t d t$

단계 2.3

$- 2$ 와 $\frac{\cos (B t)}{B}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t)}{B} t d t$

단계 2.4

$\frac{- 2 \cos (B t)}{B}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t) t}{B} d t$

단계 2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

단계 3

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - - \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + 1 \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

단계 4.2

$\int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

단계 5

$\frac{2}{B}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{B}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} \int \cos (B t) t d t$

단계 6

$u = t$ 이고 $d v = \cos (B t)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (t \frac{\sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

단계 7

$t$ 와 $\frac{\sin (B t)}{B}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

단계 8

$\frac{1}{B}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{B}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - (\frac{1}{B} \int \sin (B t) d t))$

단계 9

먼저 $u = B t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = B d t$ 이므로 $\frac{1}{B} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 9.1

$u = B t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 9.1.1

$B t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [B t]$

단계 9.1.2

$B$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $B t$ 의 미분은 $B \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$B \frac{d}{d t} [t]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$B \cdot 1$

단계 9.1.4

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$B$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \sin (u) \frac{1}{B} d u)$

단계 10

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{B}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \frac{\sin (u)}{B} d u)$

단계 11

$\frac{1}{B}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{B}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} (\frac{1}{B} \int \sin (u) d u))$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{B}$ 에 $\frac{1}{B}$ 을 곱합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B \cdot B} \int \sin (u) d u)$

단계 12.2

$B$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B} \int \sin (u) d u)$

단계 12.3

$B$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B^{1}} \int \sin (u) d u)$

단계 12.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

단계 12.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} \int \sin (u) d u)$

단계 13

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$ 을 $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$

단계 14.2

간단히 합니다.

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단계 14.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{B}{B}$ 을 곱합니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) \cdot \frac{B}{B} + C$

단계 14.2.2

$\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ 와 $\frac{B}{B}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

단계 14.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

단계 14.2.4

$B$ 와 $\frac{2}{B}$ 을 묶습니다.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{B \cdot 2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

단계 14.2.5

$B$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 \cdot B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

단계 14.2.6

$B$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

단계 14.2.6.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $B t$ 로 바꿉니다.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 \frac{t \sin (B t)}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.1.2

$2$ 와 $\frac{t \sin (B t)}{B}$ 을 묶습니다.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 (t \sin (B t))}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.1.3

$2$ 와 $\frac{\cos (B t)}{B^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.2

$- t^{2} \cos (B t)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.3

$\frac{2 t \sin (B t)}{B}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.4

$- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.5

$\frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.6

$- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

단계 16.7

$- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ 을 $- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

단계 16.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

단계 16.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} - \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$