미적분 예제

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

단계 1

$t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ 에서 $\sqrt{t}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

$t \sqrt{t}$ 에서 $\sqrt{t}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

단계 1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

단계 1.3

$\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ 에서 $\sqrt{t}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

단계 2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$t^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1

${(t^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

단계 2.2.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

단계 2.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

단계 2.2.3

지수를 더하여 $t^{\frac{1}{2}}$ 에 $t^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.3.1

$t^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

단계 2.2.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

단계 2.2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

단계 2.2.3.4

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

단계 2.2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

단계 2.2.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.6.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

단계 2.2.3.6.2

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

단계 2.2.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

단계 3

$t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

단계 3.2

$t^{- \frac{3}{2}}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 3.3

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 3.7

$- 3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 3.8

$t^{- \frac{3}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $t^{- \frac{3}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 8.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$