미적분 예제

$\int \sin^{2} (4 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 1.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

단계 2

$\sin^{2} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 9

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 10

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 11

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

단계 13

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

단계 14

간단히 합니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 15

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 15.1

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 15.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

단계 15.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (2 (4 x))) + C$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.1.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{1}{2} \sin (8 x)) + C$

단계 16.1.2

$\sin (8 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (4 x - \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

단계 16.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

단계 16.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.3.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4 (2)} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

단계 16.3.2

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4 (2)} (4 (x)) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

단계 16.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

단계 16.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

단계 16.4

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2}) + C$

단계 16.5

$\frac{1}{8} (- \frac{\sin (8 x)}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 16.5.1

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{\sin (8 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{8 \cdot 2} + C$

단계 16.5.2

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (8 x)}{16} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin (8 x) + C$