미적분 예제

$\int_{- 2}^{4} 2 + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{4} 2 d y + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

단계 2

상수 규칙을 적용합니다.

$2 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

단계 5

$- \frac{1}{4}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$4$ , $- 2$ 일 때, $2 y$ 값을 계산합니다.

$(2 \cdot 4) - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

단계 7.2

$4$ , $- 2$ 일 때, $\frac{1}{2} y^{2}$ 값을 계산합니다.

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

단계 7.3

$4$ , $- 2$ 일 때, $\frac{1}{3} y^{3}$ 값을 계산합니다.

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.2

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$8 + 4 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.3

$8$ 를 $4$ 에 더합니다.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.4

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.5

$\frac{1}{2}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.6

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.6.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.6.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.7

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} \cdot 4) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.8

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 - 4 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.9

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 4}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.10

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.10.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 2}{1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.10.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$12 + \frac{1}{2} (8 - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.11

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$12 + \frac{1}{2} \cdot 6 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.12

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$12 + \frac{6}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.13

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.13.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.13.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 + \frac{3}{1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.13.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$12 + 3 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.14

$12$ 를 $3$ 에 더합니다.

$15 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.15

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$15 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.16

$\frac{1}{3}$ 와 $64$ 을 묶습니다.

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

단계 7.4.17

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

단계 7.4.18

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

단계 7.4.19

$8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

단계 7.4.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

단계 7.4.21

$64$ 를 $8$ 에 더합니다.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72}{3}$

단계 7.4.22

$72$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.22.1

$72$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

단계 7.4.22.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.22.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

단계 7.4.22.2.2

공약수로 약분합니다.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

단계 7.4.22.2.3

수식을 다시 씁니다.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{1}$

단계 7.4.22.2.4

$24$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 - \frac{1}{4} \cdot 24$

단계 7.4.23

$24$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$15 - 24 (\frac{1}{4})$

단계 7.4.24

$- 24$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$15 + \frac{- 24}{4}$

단계 7.4.25

$- 24$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.25.1

$- 24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

단계 7.4.25.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.25.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

단계 7.4.25.2.2

공약수로 약분합니다.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

단계 7.4.25.2.3

수식을 다시 씁니다.

$15 + \frac{- 6}{1}$

단계 7.4.25.2.4

$- 6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 - 6$

단계 7.4.26

$15$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$9$

단계 8