미적분 예제

$\int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

단계 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 4 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 4 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $4 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$4 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.3

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.2

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.3

$- 16 \sin^{2} (t)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.4

$16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.7

$16$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.8

${(\cos^{2} (t))}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.8.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.9

$4096 \cos^{6} (t)$ 을 ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.1.10

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.2

$4 \cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$64 \cos^{3} (t)$ 에서 $4 \cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

단계 4

$\frac{1}{16}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

단계 5

$\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 을 $\sec^{2} (t)$ 로 변환합니다.

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

단계 6

$\tan (t)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (t)$ 이므로, $\sec^{2} (t)$ 의 적분값은 $\tan (t)$ 이 됩니다.

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

단계 7

간단히 합니다.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

단계 8

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{4})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$