미적분 예제

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

단계 2

$x^{3}$ 을 ${(x^{3})}^{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{1} = x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2}$

단계 3.2

$u_{1} = x^{3}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1^{3}$

단계 3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 3.4

$u_{1} = x^{3}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3^{3}$

단계 3.5

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{upper} = 27$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

단계 3.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

간단히 합니다.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

단계 4.2

$\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

단계 4.3

$8 u_{1} + 1$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

단계 6.2

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

단계 6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

단계 6.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

단계 7

먼저 $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 8 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{2} = 8 u_{1} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$8 u_{1} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

단계 7.1.2

합의 법칙에 의해 $8 u_{1} + 1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 7.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.3.1

$8$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $8 u_{1}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 7.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 7.1.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 7.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.1

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$8 + 0$

단계 7.1.4.2

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8$

단계 7.2

$u_{2} = 8 u_{1} + 1$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 8 + 1$

단계 7.3.2

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 9$

단계 7.4

$u_{2} = 8 u_{1} + 1$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$8$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 216 + 1$

단계 7.5.2

$216$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 217$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

단계 7.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

단계 8.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

단계 9

$\frac{1}{8}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{8}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 10.2

$2$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 10.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 10.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 10.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 11

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

단계 12

$217$ , $9$ 일 때, $\ln (| u_{2} |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

단계 13.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $217$ 사이의 거리는 $217$ 입니다.

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

단계 14.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $9$ 사이의 거리는 $9$ 입니다.

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

소수 형태:

$0.79566819 \dots$

단계 16