미적분 예제

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

단계 1

$24$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $24$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

단계 2

$t$ 을 $2 t + 3$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 t$

$3$

$t$

$0$

단계 2.2

피제수 $t$ 의 고차항을 제수 $2 t$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

단계 2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

단계 2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $t + \frac{3}{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

단계 2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

단계 2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

단계 4

상수 규칙을 적용합니다.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

단계 6

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

단계 7

$\frac{3}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

단계 8

먼저 $u = 2 t + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = 2 t + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$2 t + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $2 t + 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

단계 8.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

단계 8.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

단계 8.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

단계 8.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.4.1

$3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$2 + 0$

단계 8.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 8.2

$u = 2 t + 3$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 3$

단계 8.3.2

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 3$

단계 8.4

$u = 2 t + 3$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

단계 8.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 20 + 3$

단계 8.5.2

$20$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 23$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

단계 9.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

단계 11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

단계 12

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\ln (| u |)]_{3}^{23}$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

단계 13.2

$\ln (| u |)]_{3}^{23}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

단계 14

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$10$ , $0$ 일 때, $\frac{t}{2}$ 값을 계산합니다.

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

단계 14.2

$23$ , $3$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.1.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.2

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.4

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.6

$5$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

단계 14.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

단계 14.3.8

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

단계 14.3.9

$24$ 와 $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

단계 14.3.10

$24$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.10.1

$24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

단계 14.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.10.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

단계 14.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

단계 14.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

단계 14.3.10.2.4

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

단계 15

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $23$ 사이의 거리는 $23$ 입니다.

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

단계 16.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

단계 16.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

단계 16.4

$6$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

단계 16.5

$- 3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

단계 17

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

소수 형태:

$83.33612530 \dots$

단계 18