미적분 예제

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

단계 4

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 4.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 4.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 4.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 π$

단계 4.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

단계 4.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

단계 5

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

단계 7

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$π$ , $0$ 일 때, $- \cos (x)$ 값을 계산합니다.

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

단계 8.2

$2 π$ , $0$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

단계 8.3

괄호를 제거합니다.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

단계 9.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

단계 10.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

단계 10.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

단계 10.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

단계 10.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

단계 10.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

단계 10.7

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

단계 10.8

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

단계 10.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

단계 10.10

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 10.11

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 + 0$

단계 10.12

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$