미적분 예제

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{x}{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{3} d x$ 이므로 $3 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{x}{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{x}{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3}$

단계 1.2

$u = \frac{x}{3}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

단계 1.3

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \frac{x}{3}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 1.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 1.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

단계 2.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

단계 2.3

$\tan^{2} (u)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

단계 3

$3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

단계 4

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (u)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (u)$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

단계 7

$\tan (u)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u)$ 이므로, $\sec^{2} (u)$ 의 적분값은 $\tan (u)$ 이 됩니다.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

단계 8

$- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 와 $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 을 묶습니다.

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{π}{3}$ , $0$ 일 때, $- u + \tan (u)$ 값을 계산합니다.

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

단계 9.2.2

$0$ 를 $\tan (0)$ 에 더합니다.

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

단계 10.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

단계 10.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

단계 10.4

$- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

단계 11.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.1

$- \frac{π}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

단계 11.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

단계 11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- π + 3 \sqrt{3}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- π + 3 \sqrt{3}$

소수 형태:

$2.05455976 \dots$