미적분 예제

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

단계 2

$- c$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- c$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

단계 3.2

$c$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

단계 4

먼저 $u = - \frac{x}{c}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{c} d x$ 이므로 $- c d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = - \frac{x}{c}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$- \frac{x}{c}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

단계 4.1.2

$- \frac{1}{c}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{c}$ 의 미분은 $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

단계 4.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{c}$

단계 4.2

$u = - \frac{x}{c}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$0$ 을 $c$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 4.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = - \frac{x}{c}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

단계 4.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

단계 4.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

단계 5.2

$\frac{1}{c}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

단계 5.3

$c$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

단계 6

$- c$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- c$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$c$ 를 $1$ 승 합니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

단계 7.2

$c$ 를 $1$ 승 합니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

단계 7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

단계 7.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

단계 8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$8$ , $0$ 일 때, $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ 값을 계산합니다.

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

단계 9.2

$- \frac{8}{c}$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

단계 9.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

단계 9.3.3

$c$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

단계 9.3.4

$0$ 에 $e^{- \frac{0}{c}}$ 을 곱합니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

단계 9.3.5

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

단계 9.3.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

단계 9.3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

단계 10

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

단계 10.2

$- c^{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 10.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

단계 10.2.2

$c^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

단계 11