미적분 예제

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = \sin (4 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = \sin (4 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sin (4 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

단계 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

단계 1.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (4 x) \cdot 4$

단계 1.1.3.3.2

$\cos (4 x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \cos (4 x)$

단계 1.2

$u_{2} = \sin (4 x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 1.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{2} = \sin (4 x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (4 π)$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{upper} = \sin (0)$

단계 1.5.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

단계 2

${u_{2}}^{6}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

단계 4

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{6}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$0$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

단계 5.2.2

$\frac{1}{7}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

단계 5.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

단계 5.2.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

단계 5.2.5

$0$ 에 $\frac{1}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

단계 5.2.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 0$

단계 5.2.7

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$