미적분 예제

$\int_{0.4}^{1} x^{4} \cot (x^{5}) d x$

단계 1

먼저 $u = x^{5}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 x^{4} d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{5}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{5}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 x^{4}$

단계 1.2

$u = x^{5}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = {0.4}^{5}$

단계 1.3

$0.4$ 를 $5$ 승 합니다.

$u_{lower} = 0.01024$

단계 1.4

$u = x^{5}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{5}$

단계 1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0.01024$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0.01024}^{1} \cot (u) \frac{1}{5} d u$

단계 2

$\cot (u)$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\int_{0.01024}^{1} \frac{\cot (u)}{5} d u$

단계 3

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int_{0.01024}^{1} \cot (u) d u$

단계 4

$\cot (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sin (u) |)$ 입니다.

$\frac{1}{5} \ln (| \sin (u) |)]_{0.01024}^{1}$

단계 5

$1$ , $0.01024$ 일 때, $\ln (| \sin (u) |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{5} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.01024) |))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{1}{5} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})$

단계 6.2

$\frac{1}{5}$ 와 $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})}{5}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})}{5}$

소수 형태:

$0.10663868 \dots$