미적분 예제

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

단계 1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

단계 1.2

$16 x^{2}$ 을 ${(4 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

단계 2

먼저 $u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 2.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 2.2

$u = 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

단계 2.3

$4$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u = 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

단계 2.5

$4$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

단계 4

$\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arcsin (\frac{u}{5})$ 입니다

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 와 $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$2$ , $1$ 일 때, $\arcsin (\frac{u}{5})$ 값을 계산합니다.

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

단계 6.2

$2$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 을 $1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$5$ 을 $1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

단계 6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\arcsin (\frac{2}{5})$ 의 값을 구합니다.

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

단계 7.1.2

$\arcsin (\frac{1}{5})$ 의 값을 구합니다.

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

단계 7.1.3

$- 1$ 에 $0.20135792$ 을 곱합니다.

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

단계 7.1.4

$0.41151684$ 에서 $0.20135792$ 을 뺍니다.

$\frac{0.21015892}{4}$

단계 7.2

$0.21015892$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$0.05253973$

단계 8