미적분 예제

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

단계 1

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

함수가 $[0, 4]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

단계 1.1.2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{3}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} \geq 0$

단계 1.1.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

단계 1.1.3.2

방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

단계 1.1.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 1.1.3.2.2.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x \geq 0$

단계 1.1.4

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

단계 1.2

$f (x)$ 는 $[0, 4]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 2

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 가 미분 가능한지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.7

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.8

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.9

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.11

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.2.12

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

단계 2.1.1.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

단계 2.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{\frac{1}{2}}$ 입니다.

$x^{\frac{1}{2}}$

단계 2.2

도함수가 $[0, 4]$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

함수가 $[0, 4]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\sqrt{x^{1}}$

단계 2.2.1.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\sqrt{x}$

단계 2.2.1.2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 2.2.1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

단계 2.2.2

$f' (x)$ 는 $[0, 4]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 2.3

도함수가 $[0, 4]$ 에서 연속이므로 이 함수는 $[0, 4]$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 3

호의 길이를 구하려면 함수와 도함수가 모두 닫힌 구간 $[0, 4]$ 에서 연속이어야 합니다.

함수 및 도함수는 폐구간 $[0, 4]$ 에서 연속입니다.

단계 4

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.7

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.8

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.9

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.11

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.2.12

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

단계 4.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{\frac{1}{2}}$

단계 5

함수의 호의 길이를 구하기 위해 공식 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 를 사용합니다.

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

단계 6

적분을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

먼저 $u = 1 + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$u = 1 + x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$1 + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 6.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 6.1.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 6.1.2

$u = 1 + x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 6.1.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 6.1.4

$u = 1 + x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 4$

단계 6.1.5

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 5$

단계 6.1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

단계 6.1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

단계 6.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6.3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

단계 6.4

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$5$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 6.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $5^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 6.4.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

단계 6.4.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

소수 형태:

$6.78689325 \dots$

단계 8