미적분 예제

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

단계 1

$y = \frac{3}{x - 2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

단계 2

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[4, 7]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 2}$

구간 표기:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 2}$

단계 3

$f (x)$ 는 $[4, 7]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

단계 6

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

단계 7

먼저 $u = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 7.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 7.1.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 7.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 7.2

$u = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 - 2$

단계 7.3

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 2$

단계 7.4

$u = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 7 - 2$

단계 7.5

$7$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 5$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

단계 7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

단계 8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

단계 9

$5$ , $2$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

단계 10

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $5$ 사이의 거리는 $5$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

단계 11.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

단계 12

$7$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

단계 13

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$3 \ln (\frac{5}{2})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

단계 13.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

단계 13.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

단계 14