미적분 예제

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x - 2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{1}{x - 2}$ 을 ${(x - 2)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 1.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

단계 1.1.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 1.1.3.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

단계 1.1.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

단계 1.1.3.5.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.1.4.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.1.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 2

도함수가 $[4, 7]$ 에서 연속인지 확인합니다.

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단계 2.1

함수가 $[4, 7]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 2.1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1.2.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.1.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 2}$

구간 표기:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 2}$

단계 2.2

$f' (x)$ 는 $[4, 7]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수가 $[4, 7]$ 에서 연속이므로 이 함수는 $[4, 7]$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 4