미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

이항정리 이용

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.3.2.1

$3 x^{2} h$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.3.3.1

$3 x h^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.3.4

$\frac{1}{3}$ 와 $h^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.4

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - ((x + h) (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.6.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.6.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.6.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.6.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.1.9

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$ 입니다.

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{2}$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

단계 2.2.2

$x$ 와 $h^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

단계 2.2.3

$- 4 x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

단계 2.2.4

$- x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

단계 2.2.5

$- 2 h x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

단계 2.2.6

$\frac{x^{3}}{3}$ 를 옮깁니다.

$h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

단계 2.2.7

$h x^{2}$ 를 옮깁니다.

$h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

단계 2.2.8

$h^{2} x$ 와 $\frac{h^{3}}{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - (\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- - x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 1 x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.2.1.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.3

$\frac{x^{3}}{3}$ 에서 $\frac{x^{3}}{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.4

$\frac{h^{3}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.5

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.6

$\frac{h^{3}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.7

$- 4 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0 + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.8

$\frac{h^{3}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

단계 4.1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32 - 32}{3}}{h}$

단계 4.1.10

$32$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}}{h}$

단계 4.1.11

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.11.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0}{h}$

단계 4.1.11.2

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.12

공통 분모를 가지는 분수로 $h^{2} x$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x \cdot \frac{3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.13

$h^{2} x$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + \frac{h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3} + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.15

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.15.1

$h^{3} + h^{2} x \cdot 3$ 에서 $h^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.15.1.1

$h^{3}$ 에서 $h^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.15.1.2

$h^{2} x \cdot 3$ 에서 $h^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.15.1.3

$h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)$ 에서 $h^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.15.2

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.16

공통 분모를 가지는 분수로 $h x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} \cdot \frac{3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.17

$h x^{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + \frac{h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.19

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.19.1

$h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.19.1.1

$h^{2} (h + 3 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2}) \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.19.1.2

$h x^{2} \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.19.1.3

$h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.19.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.19.3

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.19.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.19.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.20

공통 분모를 가지는 분수로 $- h^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.21

$- h^{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} + \frac{- h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.23

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.23.1

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.23.1.1

$- h^{2} \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.23.1.2

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.23.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

단계 4.1.24

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 h x$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x \cdot \frac{3}{3} - 4 h}{h}$

단계 4.1.25

$- 2 h x$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} + \frac{- 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

단계 4.1.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

단계 4.1.27

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.27.1

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.27.1.1

$- 2 h x \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

단계 4.1.27.1.2

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

단계 4.1.27.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h}{h}$

단계 4.1.28

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4 h$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h \cdot \frac{3}{3}}{h}$

단계 4.1.29

$- 4 h$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} + \frac{- 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

단계 4.1.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

단계 4.1.31

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.31.1

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.31.1.1

$- 4 h \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

단계 4.1.31.1.2

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

단계 4.1.31.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

조합합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

단계 4.4

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

단계 4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3}$

단계 4.5

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12}{3}$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$

단계 6

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

단계 7

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

단계 8

$3 x$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

단계 9

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3 x^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

단계 10

$3$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

단계 11

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $6 x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

단계 12

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $12$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

단계 13

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

단계 13.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

단계 13.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

단계 14

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{3} (0 + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

단계 14.1.2

$3 x \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.2.1

$0$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (0 + 0 x + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

단계 14.1.2.2

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

단계 14.1.3

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

단계 14.1.4

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

단계 14.2

$0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

단계 14.2.2

$0$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

단계 14.2.3

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2} - 6 x - 12)$

단계 14.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

단계 14.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} (3 (x^{2})) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

단계 14.4.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

단계 14.4.1.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

단계 14.4.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.2.1

$- 6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

단계 14.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

단계 14.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot - 12$

단계 14.4.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.3.1

$- 12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 4))$

단계 14.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 4)$

단계 14.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 2 x - 4$

단계 15