미적분 예제

$f (x) = x^{5}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = {(x + h)}^{5}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

이항정리 이용

$f (x + h) = x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ 입니다.

$x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

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단계 2.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

단계 2.2.2

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

단계 2.2.3

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 x h^{4} + h^{5}$

단계 2.2.4

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5}$

단계 2.2.5

$x^{5}$ 를 옮깁니다.

$5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + x^{5}$

단계 2.2.6

$5 h x^{4}$ 를 옮깁니다.

$10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 5 h x^{4} + x^{5}$

단계 2.2.7

$10 h^{2} x^{3}$ 를 옮깁니다.

$10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

단계 2.2.8

$10 h^{3} x^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

단계 2.2.9

$5 h^{4} x$ 와 $h^{5}$ 을 다시 정렬합니다.

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5} - (x^{5})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$x^{5}$ 에서 $x^{5}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + 0}{h}$

단계 4.1.2

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

단계 4.1.3

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.3.1

$h^{5}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{4} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

단계 4.1.3.2

$5 h^{4} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

단계 4.1.3.3

$10 h^{3} x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

단계 4.1.3.4

$10 h^{2} x^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + 5 h x^{4}}{h}$

단계 4.1.3.5

$5 h x^{4}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

단계 4.1.3.6

$h (h^{4}) + h (5 h^{3} x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

단계 4.1.3.7

$h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

단계 4.1.3.8

$h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

단계 4.1.3.9

$h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

단계 4.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 4.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

단계 4.2.1.2

$h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$h^{3}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

단계 4.2.2.2

$h^{2}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

단계 4.2.2.3

$h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4}$

단계 4.2.2.4

$h^{4}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + h^{4}$

단계 4.2.2.5

$5 x h^{3}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 5 x h^{3} + h^{4}$

단계 4.2.2.6

$10 x^{2} h^{2}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

단계 4.2.2.7

$10 x^{3} h$ 와 $5 x^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

단계 5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

단계 6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $5 x^{4}$ 의 극한을 구합니다.

$5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

단계 7

$10 x^{3}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

단계 8

$10 x^{2}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

단계 9

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

단계 10

$5 x$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

단계 11

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

단계 12

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{4}$ 의 지수 $4$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

단계 13

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

단계 13.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

단계 13.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

단계 13.4

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

단계 14

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$10 x^{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1.1

$0$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

단계 14.1.1.2

$0$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

단계 14.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

단계 14.1.3

$10 x^{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.3.1

$0$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 0 + 0 x^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

단계 14.1.3.2

$0$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

단계 14.1.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0 + 0^{4}$

단계 14.1.5

$5 x \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.5.1

$0$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 x + 0^{4}$

단계 14.1.5.2

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0^{4}$

단계 14.1.6

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

단계 14.2

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0$

단계 14.2.2

$5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 x^{4} + 0 + 0$

단계 14.2.3

$5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 x^{4} + 0$

단계 14.2.4

$5 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 x^{4}$

단계 15