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미적분 예제
단계 1
평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.
단계 2
단계 2.1
일 때 함수값을 구합니다.
단계 2.1.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 2.1.2
결과를 간단히 합니다.
단계 2.1.2.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.1.2.2
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 2.1.2.2.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.2.2.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.2.2.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.2.3
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 2.1.2.3.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 2.1.2.3.1.1
에 을 곱합니다.
단계 2.1.2.3.1.2
에 을 곱합니다.
단계 2.1.2.3.2
를 에 더합니다.
단계 2.1.2.3.2.1
와 을 다시 정렬합니다.
단계 2.1.2.3.2.2
를 에 더합니다.
단계 2.1.2.4
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.2.5
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.1.2.6
최종 답은 입니다.
단계 2.2
다시 정렬합니다.
단계 2.2.1
와 을 다시 정렬합니다.
단계 2.2.2
와 을 다시 정렬합니다.
단계 2.2.3
와 을 다시 정렬합니다.
단계 2.3
정의의 구성요소를 찾습니다.
단계 3
식에 대입합니다.
단계 4
괄호를 제거합니다.
단계 5
단계 5.1
분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.
단계 5.1.1
분자와 분모에 극한을 취합니다.
단계 5.1.2
분자의 극한을 구하세요.
단계 5.1.2.1
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 5.1.2.2
항은 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.
단계 5.1.2.3
극한을 지수로 옮깁니다.
단계 5.1.2.4
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 5.1.2.5
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 5.1.2.6
항은 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.
단계 5.1.2.7
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 5.1.2.8
극한을 지수로 옮깁니다.
단계 5.1.2.9
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 5.1.2.10
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 5.1.2.11
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 5.1.2.12
극한의 멱의 법칙을 이용하여 의 지수 를 극한 밖으로 옮깁니다.
단계 5.1.2.13
극한을 지수로 옮깁니다.
단계 5.1.2.14
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 5.1.2.15
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 5.1.2.16
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 5.1.2.17
가 있는 모든 곳에 을 대입하여 극한값을 계산합니다.
단계 5.1.2.17.1
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 5.1.2.17.2
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 5.1.2.17.3
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 5.1.2.17.4
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 5.1.2.17.5
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 5.1.2.18
답을 간단히 합니다.
단계 5.1.2.18.1
의 반대 항을 묶습니다.
단계 5.1.2.18.1.1
에서 을 뺍니다.
단계 5.1.2.18.1.2
에서 을 뺍니다.
단계 5.1.2.18.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 5.1.2.18.1.4
에서 을 뺍니다.
단계 5.1.2.18.1.5
를 에 더합니다.
단계 5.1.2.18.2
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.1.2.18.2.1
을 곱합니다.
단계 5.1.2.18.2.1.1
에 을 곱합니다.
단계 5.1.2.18.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 5.1.2.18.2.2
에 을 곱합니다.
단계 5.1.2.18.2.3
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 5.1.2.18.2.4
에 을 곱합니다.
단계 5.1.2.18.3
를 에 더합니다.
단계 5.1.3
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 5.1.4
으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.
정의되지 않음
단계 5.2
은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.
단계 5.3
분자와 분모를 미분합니다.
단계 5.3.1
분자와 분모를 미분합니다.
단계 5.3.2
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 5.3.3
의 값을 구합니다.
단계 5.3.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.3.3.2
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.3.2.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 5.3.3.2.2
=일 때 은 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.3.2.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 5.3.3.3
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 5.3.3.4
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.3.3.5
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.3.6
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 5.3.3.7
에 을 곱합니다.
단계 5.3.3.8
를 에 더합니다.
단계 5.3.3.9
의 왼쪽으로 이동하기
단계 5.3.3.10
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.3.4
의 값을 구합니다.
단계 5.3.4.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.3.4.2
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.4.3
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.4.3.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 5.3.4.3.2
=일 때 은 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.4.3.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 5.3.4.4
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 5.3.4.5
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.3.4.6
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.4.7
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 5.3.4.8
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.4.9
에 을 곱합니다.
단계 5.3.4.10
를 에 더합니다.
단계 5.3.4.11
의 왼쪽으로 이동하기
단계 5.3.4.12
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.3.4.13
에 을 곱합니다.
단계 5.3.5
의 값을 구합니다.
단계 5.3.5.1
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.5.2
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.5.2.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 5.3.5.2.2
=일 때 은 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.5.2.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 5.3.5.3
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 5.3.5.4
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.3.5.5
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.5.6
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 5.3.5.7
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.3.5.8
에 을 곱합니다.
단계 5.3.5.9
를 에 더합니다.
단계 5.3.5.10
의 왼쪽으로 이동하기
단계 5.3.5.11
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.3.6
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 5.3.7
간단히 합니다.
단계 5.3.7.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 5.3.7.2
항을 묶습니다.
단계 5.3.7.2.1
에 을 곱합니다.
단계 5.3.7.2.2
를 에 더합니다.
단계 5.3.7.3
항을 다시 정렬합니다.
단계 5.3.7.4
에서 인수를 다시 정렬합니다.
단계 5.3.8
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.4
을 로 나눕니다.
단계 6
단계 6.1
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.2
항은 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.
단계 6.3
극한을 지수로 옮깁니다.
단계 6.4
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.5
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 6.6
항은 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.
단계 6.7
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.8
극한을 지수로 옮깁니다.
단계 6.9
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.10
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 6.11
항은 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.
단계 6.12
극한을 지수로 옮깁니다.
단계 6.13
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.14
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 6.15
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.16
극한의 멱의 법칙을 이용하여 의 지수 를 극한 밖으로 옮깁니다.
단계 6.17
극한을 지수로 옮깁니다.
단계 6.18
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.19
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 6.20
항은 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.
단계 6.21
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.22
극한을 지수로 옮깁니다.
단계 6.23
가 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.
단계 6.24
가 에 가까워질 때 상수값 의 극한을 구합니다.
단계 7
단계 7.1
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 7.2
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 7.3
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 7.4
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 7.5
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 7.6
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 7.7
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 7.8
에 을 대입하여 의 극한을 계산합니다.
단계 8
단계 8.1
의 반대 항을 묶습니다.
단계 8.1.1
에서 을 뺍니다.
단계 8.1.2
에서 을 뺍니다.
단계 8.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 8.1.4
에서 을 뺍니다.
단계 8.1.5
에서 을 뺍니다.
단계 8.2
각 항을 간단히 합니다.
단계 8.2.1
에 을 곱합니다.
단계 8.2.2
을 곱합니다.
단계 8.2.2.1
에 을 곱합니다.
단계 8.2.2.2
에 을 곱합니다.
단계 8.2.3
에 을 곱합니다.
단계 8.2.4
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 8.2.5
에 을 곱합니다.
단계 8.2.6
에 을 곱합니다.
단계 8.2.7
에 을 곱합니다.
단계 8.2.8
에 을 곱합니다.
단계 8.3
의 반대 항을 묶습니다.
단계 8.3.1
를 에 더합니다.
단계 8.3.2
를 에 더합니다.
단계 8.3.3
를 에 더합니다.
단계 9