미적분 예제

$f (x) = e^{a x}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = e^{a (x + h)}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $e^{a x + a h}$ 입니다.

$e^{a x + a h}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

$f (x) = e^{a x}$

$f (x + h) = e^{a x + a h}$

$f (x) = e^{a x}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - (e^{a x})}{h}$

단계 4

$- 1$ 에 $e^{a x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - e^{a x}}{h}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{a x + a h} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1.2.1.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{a x + a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} a x + a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} a x + lim_{h \to 0} a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $a x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{e^{a x + lim_{h \to 0} a h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.5

$a$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{a x + a lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $e^{a x}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{e^{a x + a lim_{h \to 0} h} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{a x + a \cdot 0} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.2.3.1.1

$a$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{a x + 0} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.3.1.2

$a x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{a x} - e^{a x}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.3.2

$e^{a x}$ 에서 $e^{a x}$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 5.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 5.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} - e^{a x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h} - e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h} - e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.2

합의 법칙에 의해 $e^{a x + a h} - e^{a x}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3

$\frac{d}{d h} [e^{a x + a h}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.3.3.1

$f (h) = e^{h}$ , $g (h) = a x + a h$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a x + a h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $a x + a h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} \frac{d}{d h} [a x + a h] + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.2

합의 법칙에 의해 $a x + a h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [a x] + \frac{d}{d h} [a h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (\frac{d}{d h} [a x] + \frac{d}{d h} [a h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.3

$a x$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $a x$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $a x$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + \frac{d}{d h} [a h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.4

$a$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $a h$ 의 미분은 $a \frac{d}{d h} [h]$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.6

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} (0 + a) + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.7

$0$ 를 $a$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a + \frac{d}{d h} [- e^{a x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.4

$- e^{a x}$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- e^{a x}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- e^{a x}$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.5

간단히 합니다.

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단계 5.3.5.1

$e^{a x + a h} a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{a x + a h} a}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.5.2

$e^{a x + a h} a$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{a e^{a x + a h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{a e^{a x + a h}}{1}$

단계 5.4

$a e^{a x + a h}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{h \to 0} a e^{a x + a h}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$a$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$a lim_{h \to 0} e^{a x + a h}$

단계 6.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$a e^{lim_{h \to 0} a x + a h}$

단계 6.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$a e^{lim_{h \to 0} a x + lim_{h \to 0} a h}$

단계 6.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $a x$ 의 극한을 구합니다.

$a e^{a x + lim_{h \to 0} a h}$

단계 6.5

$a$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$a e^{a x + a lim_{h \to 0} h}$

단계 7

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$a e^{a x + a \cdot 0}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$a$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$a e^{a x + 0}$

단계 8.2

$a x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$a e^{a x}$

단계 9