미적분 예제

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ 이고 합이 $b = - 6$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.1.1.1.2

$27$ 와 $- 6 (x + h)$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.1.1.1.3

$- 6$ 를 $3$ + $- 9$ 로 다시 씁니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.1.1.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.1.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.1.1.3

최대공약수 $- (x + h) + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$- x - h + 3$ 및 $x + h - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.2.1.2

$- h$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.2.1.3

$- (x) - (h)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.2.1.4

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.2.1.5

$- (x + h) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.2.1.6

$- (x + h - 3)$ 을 $- 1 (x + h - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.2.1.7

공약수로 약분합니다.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

단계 2.1.2.2.1.8

$- 1 (x + h + 9)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

단계 2.1.2.2.2

$- 1 (x + h + 9)$ 을 $- (x + h + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

단계 2.1.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

단계 2.1.2.2.4

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = - x - h - 9$

단계 2.1.2.3

최종 답은 $- x - h - 9$ 입니다.

$- x - h - 9$

단계 2.2

$- x$ 와 $- h$ 을 다시 정렬합니다.

$- h - x - 9$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

단계 4.1.2

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

단계 4.1.3

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

단계 4.1.3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

단계 4.1.4

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

단계 4.1.5

$- h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

단계 4.1.6

$- 9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

단계 4.1.7

$- h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

단계 4.2

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

단계 4.2.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

단계 5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $- 1$ 의 극한을 구합니다.

$- 1$

단계 6