미적분 예제

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$4 (x + h)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

단계 2.1.2.1.2

$- 2 {(x + h)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

단계 2.1.2.1.3

$2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

단계 2.1.2.1.4

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

단계 2.1.2.1.5

$2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

단계 2.1.2.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

단계 2.1.2.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

단계 2.1.2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$u = x + h$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x + h$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

단계 2.1.2.2.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.2.1

항을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

단계 2.1.2.2.2.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 이고 합이 $b = 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.2.2.1

$2 u$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

단계 2.1.2.2.2.2.2

$2$ 를 $- 1$ + $3$ 로 다시 씁니다.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

단계 2.1.2.2.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

단계 2.1.2.2.2.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.2.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

단계 2.1.2.2.2.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

단계 2.1.2.2.2.4

최대공약수 $- u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + h$ 로 바꿉니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.3.2

$- h$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.3.3

$- (x) - (h)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.3.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.3.5

$- (x + h) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.6.1

$- (x + h + 1)$ 을 $- 1 (x + h + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.3.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.1.2.4

최종 답은 $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ 입니다.

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

단계 4.1.1.2

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

단계 4.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

단계 4.1.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

단계 4.1.4.2

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ 에 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.4.3

$(x + h) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6

인수분해된 형태로 $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.3

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4.2

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4.3

지수를 더하여 $h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.3.1

$h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4.3.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4.4

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4.5

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4.6

$- 1 h$ 을 $- h$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.4.7

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.5

$- x h$ 에서 $h x$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.5.1

$h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.5.2

$- x h$ 에서 $x h$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.6

$3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.7

$3 h$ 에서 $h$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.9.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.9.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.9.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.9.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.9.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.9.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.9.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.9.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.9.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.9.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.9.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.9.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.10

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.11

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.11.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.11.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.11.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.11.1.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.11.2

$- 3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.12

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.13

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.13.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.13.1.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.13.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.13.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.13.1.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.13.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.6.13.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.13.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.14

$- x^{3}$ 를 $x^{3}$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.15

$- 2 x^{2} h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.16

$- 2 x^{2} h$ 를 $x^{2} h$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.17

$2 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.18

$- x^{2} h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.19

$2 h x$ 에서 $2 x h$ 을 뺍니다.

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단계 4.1.6.19.1

$h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.19.2

$2 x h$ 에서 $2 x h$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.20

$- x^{2} h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.21

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.22

$- x^{2} h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.23

$- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.6.23.1

$- x^{2} h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.23.2

$- h^{2} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.23.3

$- 3 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.23.4

$h (- x^{2}) + h (- h x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6.23.5

$h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

조합합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

단계 4.4

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

단계 4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

단계 4.5

$- x^{2} - h x - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

단계 4.6

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

단계 4.7

$- h x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

단계 4.8

$- (x^{2}) - (h x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

단계 4.9

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

단계 4.10

$- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

단계 4.11

식을 간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$- (x^{2} + h x + 3)$ 을 $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

단계 4.11.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

단계 5

$- 1$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

단계 6

$\frac{1}{x}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

단계 7

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

단계 8

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

단계 9

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

단계 10

$x$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

단계 11

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

단계 12

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

단계 13

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

단계 14

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

단계 14.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

단계 15

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$x$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

단계 15.1.2

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

단계 15.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

단계 15.3

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$\frac{x^{2} + 3}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

단계 15.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

단계 15.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

단계 15.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

단계 15.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

단계 16