미적분 예제

$y = 8 x - x^{2}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = 8 (x + h) - {(x + h)}^{2}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - {(x + h)}^{2}$

단계 2.1.2.1.2

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - ((x + h) (x + h))$

단계 2.1.2.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x (x + h) + h (x + h))$

단계 2.1.2.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

단계 2.1.2.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

단계 2.1.2.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

단계 2.1.2.1.4.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

단계 2.1.2.1.4.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.4.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

단계 2.1.2.1.4.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

단계 2.1.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

단계 2.1.2.1.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ 입니다.

$8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$8 x$ 를 옮깁니다.

$8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 8 x$

단계 2.2.2

$8 h$ 를 옮깁니다.

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 8 h + 8 x$

단계 2.2.3

$- x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 8 h + 8 x$

단계 2.2.4

$- 2 h x$ 와 $- h^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

$f (x) = 8 x - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

$f (x) = 8 x - x^{2}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - (8 x - x^{2})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - (8 x) + x^{2}}{h}$

단계 4.1.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + x^{2}}{h}$

단계 4.1.3

$- - x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + 1 x^{2}}{h}$

단계 4.1.3.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + x^{2}}{h}$

단계 4.1.4

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x + 0}{h}$

단계 4.1.5

$- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x}{h}$

단계 4.1.6

$8 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 0}{h}$

단계 4.1.7

$- h^{2} - 2 h x + 8 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h}{h}$

단계 4.1.8

$- h^{2} - 2 h x + 8 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.8.1

$- h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + 8 h}{h}$

단계 4.1.8.2

$- 2 h x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + 8 h}{h}$

단계 4.1.8.3

$8 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 8}{h}$

단계 4.1.8.4

$h (- h) + h (- 2 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 8}{h}$

단계 4.1.8.5

$h (- h - 2 x) + h \cdot 8$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 8)}{h}$

단계 4.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 8)}{h}$

단계 4.2.1.2

$- h - 2 x + 8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 8$

단계 4.2.2

$- h$ 와 $- 2 x$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 8$

단계 5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8$

단계 6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2 x$ 의 극한을 구합니다.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8$

단계 7

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 8$

단계 8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- 2 x + 0 + 8$

단계 8.2

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x + 8$

단계 9