미적분 예제

$y = \frac{1}{x^{2}}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

단계 2.1.2

최종 답은 $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

단계 4.1.2

$\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

단계 4.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

단계 4.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{1}{x + h}$ 이고 $b = \frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5

간단히 합니다.

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단계 4.1.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x + h}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.5.3.1

$\frac{1}{x + h}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5.3.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5.3.3

$(x + h) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5.5

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x + h}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

단계 4.1.5.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

단계 4.1.5.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.5.8.1

$\frac{1}{x + h}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

단계 4.1.5.8.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

단계 4.1.5.8.3

$(x + h) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

단계 4.1.5.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.10

인수분해된 형태로 $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.5.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.10.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.10.3

$0$ 에서 $h$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (- 1 \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

단계 4.1.7

지수를 묶습니다.

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단계 4.1.7.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

단계 4.1.7.2

$\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ 에 $\frac{h}{x (x + h)}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

단계 4.1.7.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

단계 4.1.7.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

단계 4.1.7.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

단계 4.1.7.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

단계 4.1.7.7

$x + h$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

단계 4.1.7.8

$x + h$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

단계 4.1.7.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

단계 4.1.7.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.2

$- (2 x + h) h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.3

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

단계 4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

단계 5

$- 1$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

단계 6

$\frac{1}{x^{2}}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{{(x + h)}^{2}}$

단계 7

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

단계 8

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

단계 9

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2 x$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

단계 10

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(x + h)}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}$

단계 11

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

단계 12

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

단계 13

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 13.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

단계 13.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + 0)}^{2}}$

단계 14

답을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{{(x + 0)}^{2}}$

단계 14.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

단계 14.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.3.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

단계 14.3.2

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

단계 14.3.3

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

단계 14.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

단계 14.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{2}{x^{2}}$

단계 14.4

$\frac{- 1}{x}$ 에 $\frac{2}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot 2}{x \cdot x^{2}}$

단계 14.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2}{x \cdot x^{2}}$

단계 14.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2}{x^{1} x^{2}}$

단계 14.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2}{x^{1 + 2}}$

단계 14.6.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

단계 14.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{x^{3}}$

단계 15