미적분 예제

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 1}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ 입니다.

$\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} - (\frac{x - 1}{x + 1})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x - 1}{x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

단계 4.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h + 1) (x + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.3.1

$\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

단계 4.1.3.2

$\frac{x - 1}{x + 1}$ 에 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{(x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.3.3

$(x + h + 1) (x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{(x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1) - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5

인수분해된 형태로 $\frac{(x + h - 1) (x + 1) - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.5.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x + h - 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.2

$x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.1.5.2.1

인수가 항 $x \cdot 1$ 과(와) $- 1 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + 1 x + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.2.2

$1 x$ 에서 $1 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 1 + 0 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.2.3

$x \cdot x + h x + h \cdot 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.5.3.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.3.2

$h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 + (- x + 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 + (- x + 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- x + 1) (x + h + 1)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x \cdot x - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.5.7.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.5.7.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.7.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.7.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.7.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.7.4

$h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.7.5

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.8

$- x^{2} - x h - x + x + h + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.1.5.8.1

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h + 0 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.8.2

$- x^{2} - x h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.9

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - 1 + 0 - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.10

$h x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - 1 - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.11

$h x$ 에서 $x h$ 을 뺍니다.

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단계 4.1.5.11.1

$h$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + x h - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.11.2

$x h$ 에서 $x h$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + 0 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.12

$h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.13

$h$ 를 $h$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h - 1 + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.14

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.1.5.15

$2 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$2 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 2}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 2}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2}{(x + 1) (x + h + 1)}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$\frac{2}{x + 1}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

단계 5.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

단계 5.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

단계 5.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

단계 5.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

단계 5.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

단계 6

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

단계 7.2

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{2}{x + 1}$ 에 $\frac{1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1)}$

단계 7.2.2

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

단계 7.2.3

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

단계 7.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

단계 7.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 8