미적분 예제

$f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 3 x^{2}}]$

단계 1.1.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{(1 + 3 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2

$1 + 3 x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3

합의 법칙에 의해 $1 + 3 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 가 됩니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 에 더합니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3.6

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 3 x (2 x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.3.9

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x \cdot x}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x)}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{1 + 1}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 \frac{1 + 3 x^{2} - 6 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.8

$3 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 을 뺍니다.

$6 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.9

$6$ 와 $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.10

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.10.2.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 + 6 (- 3 x^{2})}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.10.2.2

$- 3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{6 - 18 x^{2}}{{(1 + 3 x^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.10.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

$f (x) = - 18 x^{2} + 6$ , $g (x) = {(3 x^{2} + 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.2.1

${({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 1.1.2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- 18 x^{2} + 6] - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.2

합의 법칙에 의해 $- 18 x^{2} + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.3

$- 18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 18 x^{2}$ 의 미분은 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.5

$2$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + \frac{d}{d x} [6]) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.6

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x + 0) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.7

$- 36 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.3.3

$u$ 를 모두 $3 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - (- 18 x^{2} + 6) (2 (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4

미분합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x + 0))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.7

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.7.1

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) (6 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.7.2

$3 x^{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 2 (- 18 x^{2} + 6) (6 \cdot (3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.7.3

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) - 12 (- 18 x^{2} + 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 36 x) + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 36 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.2

${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ 을 $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 36 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2} + 1)) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 36 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 36 (3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.5

$3 x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.2

$3 x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{- 36 (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- 36 (9 x^{4}) - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.6.1

$9$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 324 x^{4} - 36 (6 x^{2}) - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.6.2

$6$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36 \cdot 1) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.6.3

$- 36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 324 x^{4} - 216 x^{2} - 36) x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 324 x^{4} x - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 324 (x \cdot x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 324 (x^{1} x^{4}) - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 324 x^{1 + 4} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{2} x - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x \cdot x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 (x^{1} x^{2}) - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{1 + 2} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (- 12 (- 18 x^{2}) - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.9.1

$- 18$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 12 \cdot 6) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.9.2

$- 12$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{2} x + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.10

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.10.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.10.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.10.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.10.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.10.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{1 + 2} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.10.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + 1 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.10.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + (216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.11

FOIL 계산법을 이용하여 $(216 x^{2} - 72) (3 x^{3} + x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3} + x) - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3} + x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 x^{2} (3 x^{3}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{2} x^{3} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 (x^{3} x^{2}) + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{3 + 2} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 216 \cdot 3 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.3

$216$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{2} x - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x \cdot x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 (x^{1} x^{2}) - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{1 + 2} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 72 (3 x^{3}) - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.5

$3$ 에 $- 72$ 을 곱합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 216 x^{3} - 216 x^{3} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.2

$216 x^{3}$ 에서 $216 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} + 0 - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.3

$648 x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x + 648 x^{5} - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.2

$- 324 x^{5}$ 를 $648 x^{5}$ 에 더합니다.

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 36 x - 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.3

$- 36 x$ 에서 $72 x$ 을 뺍니다.

$\frac{324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.4.1

$324 x^{5} - 216 x^{3} - 108 x$ 에서 $108 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.4.1.1

$324 x^{5}$ 에서 $108 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{108 x (3 x^{4}) - 216 x^{3} - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.1.2

$- 216 x^{3}$ 에서 $108 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) - 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.1.3

$- 108 x$ 에서 $108 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.1.4

$108 x (3 x^{4}) + 108 x (- 2 x^{2})$ 에서 $108 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.1.5

$108 x (3 x^{4} - 2 x^{2}) + 108 x (- 1)$ 에서 $108 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{108 x (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{108 x (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.3

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.4

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.4.4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 이고 합이 $b = - 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.4.4.1.1

$- 2 u$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{108 x (3 u^{2} - 2 (u) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.4.1.2

$- 2$ 를 $1$ + $- 3$ 로 다시 씁니다.

$\frac{108 x (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{108 x (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.4.1.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{108 x (3 u^{2} + u - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.4.4.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{108 x ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{108 x (u (3 u + 1) - (3 u + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.4.3

최대공약수 $3 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{108 x ((3 u + 1) (u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.5

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{108 x ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.7

인수분해합니다.

$\frac{108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.5

$3 x^{2} + 1$ 및 ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.5.1

$108 x (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ 에서 $3 x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.5.2.1

${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ 에서 $3 x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 1.1.2.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 1.1.2.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{(108 x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$108 x (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 1.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 1.2.3.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.3.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 1.2.3.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.2.3.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 1.2.3.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 1.2.3.5

$108 x (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1, 1$

단계 2

$f (x) = \frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$1 + 3 x^{2} = 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} = - 1$

단계 2.2.2

$3 x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$3 x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

단계 2.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

단계 2.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$- \frac{1}{3}$ 을 $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1

$- 1$ 을 $i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

단계 2.2.4.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

단계 2.2.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

단계 2.2.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

단계 2.2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

단계 2.2.4.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

단계 2.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

단계 2.2.4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 2.2.4.7.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 2.2.4.7.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 2.2.4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 2.2.4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 2.2.4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.2.4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.2.4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.2.4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 2.2.4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.2.4.8

$i$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

단계 2.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

단계 2.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

단계 2.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

단계 2.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = \frac{108 (- 4) ((- 4) + 1) ((- 4) - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$108$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 {(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 4.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

단계 4.2.2.2

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

단계 4.2.2.3

$48$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{49^{3}}$

단계 4.2.2.4

$49$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 432 (- 4 + 1) (- 4 - 1)}{117649}$

단계 4.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 432 \cdot (- 3 (- 4 - 1))}{117649}$

단계 4.2.3.2

$- 432$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{1296 (- 4 - 1)}{117649}$

단계 4.2.3.3

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4) = \frac{1296 \cdot - 5}{117649}$

단계 4.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$1296$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 6480}{117649}$

단계 4.2.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 4) = - \frac{6480}{117649}$

단계 4.2.5

최종 답은 $- \frac{6480}{117649}$ 입니다.

$- \frac{6480}{117649}$

단계 4.3

$f'' (- 4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(- 1, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.5$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{108 (- 0.5) ((- 0.5) + 1) ((- 0.5) - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$108$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 54 (- 0.5 + 1) (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 5.2.1.2

$- 54$ 에 $- 0.5 + 1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 27 (- 0.5 - 1)}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 5.2.1.3

$- 27$ 에 $- 0.5 - 1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 {(- 0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

단계 5.2.2.2

$3$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

단계 5.2.2.3

$0.75$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{{1.75}^{3}}$

단계 5.2.2.4

$1.75$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{40.5}{5.359375}$

단계 5.2.3

$40.5$ 을 $5.359375$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.5) = 7.55685131$

단계 5.2.4

최종 답은 $7.55685131$ 입니다.

$7.55685131$

단계 5.3

$f'' (- 0.5)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 1, 0)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 1, 0)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(0, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.5$ 을 대입합니다.

$f'' (0.5) = \frac{108 (0.5) ((0.5) + 1) ((0.5) - 1)}{{(3 {(0.5)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$108$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$f'' (0.5) = \frac{54 (0.5 + 1) (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 6.2.1.2

$54$ 에 $0.5 + 1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.5) = \frac{81 (0.5 - 1)}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 6.2.1.3

$81$ 에 $0.5 - 1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot {0.5}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(3 \cdot 0.25 + 1)}^{3}}$

단계 6.2.2.2

$3$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

단계 6.2.2.3

$0.75$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{{1.75}^{3}}$

단계 6.2.2.4

$1.75$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0.5) = \frac{- 40.5}{5.359375}$

단계 6.2.3

$- 40.5$ 을 $5.359375$ 로 나눕니다.

$f'' (0.5) = - 7.55685131$

단계 6.2.4

최종 답은 $- 7.55685131$ 입니다.

$- 7.55685131$

단계 6.3

$f'' (0.5)$ 이 음수이므로 그래프는 $(0, 1)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, 1)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = \frac{108 (4) ((4) + 1) ((4) - 1)}{{(3 {(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$108$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 4^{2} + 1)}^{3}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(3 \cdot 16 + 1)}^{3}}$

단계 7.2.2.2

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{{(48 + 1)}^{3}}$

단계 7.2.2.3

$48$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{49^{3}}$

단계 7.2.2.4

$49$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{432 (4 + 1) (4 - 1)}{117649}$

단계 7.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (4) = \frac{432 \cdot (5 (4 - 1))}{117649}$

단계 7.2.3.2

$432$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{2160 (4 - 1)}{117649}$

단계 7.2.3.3

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = \frac{2160 \cdot 3}{117649}$

단계 7.2.4

$2160$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{6480}{117649}$

단계 7.2.5

최종 답은 $\frac{6480}{117649}$ 입니다.

$\frac{6480}{117649}$

단계 7.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(1, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(1, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 1, 0)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, 1)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(1, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 9