미적분 예제

$f (x) = x^{14} + 8 x^{2}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{14} + 8 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

단계 1.1.1.1.2

$n = 14$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$14 x^{13} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$14 x^{13} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$14 x^{13} + 8 (2 x)$

단계 1.1.1.2.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 14 x^{13} + 16 x$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $14 x^{13} + 16 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [14 x^{13}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $14 x^{13}$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [x^{13}]$ 입니다.

$14 \frac{d}{d x} [x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 1.1.2.2.2

$n = 13$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$14 (13 x^{12}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 1.1.2.2.3

$13$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$182 x^{12} + \frac{d}{d x} [16 x]$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [16 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$182 x^{12} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$182 x^{12} + 16 \cdot 1$

단계 1.1.2.3.3

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 182 x^{12} + 16$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $182 x^{12} + 16$ 입니다.

$182 x^{12} + 16$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $182 x^{12} + 16 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$182 x^{12} + 16 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$182 x^{12} = - 16$

단계 1.2.3

$182 x^{12} = - 16$ 의 각 항을 $182$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$182 x^{12} = - 16$ 의 각 항을 $182$ 로 나눕니다.

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$182$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x^{12}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{12} = \frac{- 16}{182}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

$- 16$ 및 $182$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.3.1.1

$- 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{12} = \frac{2 (- 8)}{182}$

단계 1.2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.3.1.2.1

$182$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

단계 1.2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

단계 1.2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{12} = \frac{- 8}{91}$

단계 1.2.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{12} = - \frac{8}{91}$

단계 1.2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

단계 1.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

단계 1.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

단계 1.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}, - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 182 {(0)}^{12} + 16$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 182 \cdot 0 + 16$

단계 4.2.1.2

$182$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 16$

단계 4.2.2

$0$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 16$

단계 4.2.3

최종 답은 $16$ 입니다.

$16$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

위로 오목한 그래프

단계 5