미적분 예제

$y = x + \cos (2 x)$

단계 1

$y = x + \cos (2 x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

단계 2.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 2.1.2.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 2.1.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 2.1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 2.1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

단계 2.1.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 \sin (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

단계 2.2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (2 x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

단계 2.2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.2.2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.2.2.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.2.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 2.2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

단계 2.2.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

단계 2.2.2.6

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

단계 2.2.2.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

단계 2.2.3

$0$ 에서 $4 \cos (2 x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 4 \cos (2 x)$ 입니다.

$- 4 \cos (2 x)$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 4 \cos (2 x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 4 \cos (2 x) = 0$

단계 3.2

$- 4 \cos (2 x) = 0$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 4 \cos (2 x) = 0$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

단계 3.2.2.1.2

$\cos (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$0$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\cos (2 x) = 0$

단계 3.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$2 x = \arccos (0)$

단계 3.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$2 x = \frac{π}{2}$

단계 3.5

$2 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$2 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 3.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 3.5.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 3.5.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 3.6

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 3.7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 3.7.1.2

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 3.7.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 3.7.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 3.7.1.5

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

단계 3.7.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 3.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 3.7.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 3.7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 3.7.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

단계 3.7.2.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 3.8

$\cos (2 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

단계 3.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 3.8.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 3.8.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 3.9

함수 $\cos (2 x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

단계 3.10

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = x + \cos (2 x)$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

단계 4.1.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

단계 4.1.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

단계 4.1.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

단계 4.1.2.2

$\frac{π}{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$\frac{π}{4}$

단계 4.2

$f (x) = x + \cos (2 x)$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

단계 6

$(- \infty, \frac{π}{4})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.68539816$ 을 대입합니다.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2$ 에 $0.68539816$ 을 곱합니다.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

단계 6.2.2

최종 답은 $- 4 \cos (1.37079632)$ 입니다.

$- 4 \cos (1.37079632)$

단계 6.3

$0.68539816$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.79467732$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, \frac{π}{4})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{π}{4})$ 에서 감소함

단계 7

$(\frac{π}{4}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.88539816$ 을 대입합니다.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2$ 에 $0.88539816$ 을 곱합니다.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

단계 7.2.2

최종 답은 $- 4 \cos (1.77079632)$ 입니다.

$- 4 \cos (1.77079632)$

단계 7.3

$0.88539816$ 에서의 이계도함수는 $0.79467732$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(\frac{π}{4}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{π}{4}, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 입니다.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

단계 9