미적분 예제

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

단계 1

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ 입니다.

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

단계 2.1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.3.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.4

$\frac{x}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$\frac{4}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.5.2

$\frac{4}{x}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.5.3

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.3.1

$4 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.5.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.5.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.5.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.5.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.5.3.2.5

$4 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.6

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.1

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.7.2

$\frac{4}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.7.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.3.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.7.3.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

단계 2.1.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

단계 2.1.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

단계 2.1.11.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

단계 2.1.11.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x \ln (\frac{x}{4})$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ 입니다.

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.3.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.7

$\frac{x}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.8

$\frac{4}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.9

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.10

$\frac{4}{x}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.11

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.12

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.12.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.12.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.13

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.14

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.14.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.14.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.2.15

$\ln (\frac{x}{4})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

단계 2.2.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

단계 2.2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

단계 2.2.4.2.2

$10$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ 입니다.

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $15$ 를 뺍니다.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

단계 3.3

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ 의 각 항을 $10$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ 의 각 항을 $10$ 로 나눕니다.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

단계 3.3.2.1.2

$\ln (\frac{x}{4})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$- 15$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$- 15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

단계 3.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

$10$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

단계 3.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

단계 3.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

단계 3.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

단계 3.4

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

단계 3.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

단계 3.6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

단계 3.6.2

방정식의 양변에 $4$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

단계 3.6.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

단계 3.6.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

단계 3.6.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1

$4 e^{- \frac{3}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.3.2.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

단계 3.6.3.2.1.2

$4$ 와 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 에 $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

단계 4.1.2.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

단계 4.1.2.3

${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

단계 4.1.2.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

단계 4.1.2.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

단계 4.1.2.4

$5 \frac{16}{e^{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

$5$ 와 $\frac{16}{e^{3}}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

단계 4.1.2.4.2

$5$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

단계 4.1.2.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

단계 4.1.2.6

조합합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

단계 4.1.2.7

공약수를 소거하여 수식 $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

단계 4.1.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

단계 4.1.2.8

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $e^{\frac{3}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

단계 4.1.2.9

$- \frac{3}{2}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ 을 전개합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

단계 4.1.2.10

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

단계 4.1.2.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

단계 4.1.2.12

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.12.1

$- \frac{3}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

단계 4.1.2.12.2

$80$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

단계 4.1.2.12.3

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

단계 4.1.2.12.4

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

단계 4.1.2.13

$\frac{40}{e^{3}}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

단계 4.1.2.14

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.14.1

$40$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

단계 4.1.2.14.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

단계 4.1.2.15

최종 답은 $- \frac{120}{e^{3}}$ 입니다.

$- \frac{120}{e^{3}}$

단계 4.2

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 에 $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

단계 6

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.79252064$ 을 대입합니다.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0.79252064$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

단계 6.2.1.2

$10$ 를 로그 안으로 옮겨 $10 \ln (0.19813016)$ 을 간단히 합니다.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

단계 6.2.1.3

$0.19813016$ 를 $10$ 승 합니다.

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

단계 6.2.2

최종 답은 $\ln (0.00000009) + 15$ 입니다.

$\ln (0.00000009) + 15$

단계 6.3

$0.79252064$ 에서의 2차 미분값은 $- 1.18831089$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ 에서 감소함

단계 7

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.99252064$ 을 대입합니다.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0.99252064$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

단계 7.2.1.2

$10$ 를 로그 안으로 옮겨 $10 \ln (0.24813016)$ 을 간단히 합니다.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

단계 7.2.1.3

$0.24813016$ 를 $10$ 승 합니다.

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

단계 7.2.2

최종 답은 $\ln (0.00000088) + 15$ 입니다.

$\ln (0.00000088) + 15$

단계 7.3

$0.99252064$ 에서의 이계도함수는 $1.06198168$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ 입니다.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

단계 9