미적분 예제

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

단계 1

$\frac{x}{1 - x^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2.2

$1 - x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2.7

곱합니다.

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단계 2.1.1.2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2.7.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.7

$- x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.1.1.8

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.2.1

$f (x) = x^{2} + 1$ , $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

단계 2.1.2.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.2.1

${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.1.2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.2.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.2.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.2.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.2.5.2

${(- x^{2} + 1)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = - x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.3.3

$u$ 를 모두 $- x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.4

미분합니다.

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단계 2.1.2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.2

합의 법칙에 의해 $- x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.4.7.1

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.4.7.2

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + 4 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5

간단히 합니다.

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단계 2.1.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.5.3.1.1

${(- x^{2} + 1)}^{2}$ 을 $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 ((- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1.2.5.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.5.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.5.3.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.2.5.3.1.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.1.4

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.1.6

$- x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.1.7

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.3.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.5.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{4} x - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.7.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.7.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.7.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.7.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.7.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.7.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.7.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.7.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.7.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.7.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.7.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.8

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.9.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.9.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.9.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.9.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.9.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{1 + 2} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.9.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.9.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.10

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3} + x) + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.2.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.2

$4 x^{3}$ 에서 $4 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 0 + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.1.11.3

$- 4 x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.2

$2 x^{5}$ 에서 $4 x^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.3.3

$2 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.4.1

$- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.4.1.1

$- 2 x^{5}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- x^{4}) - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.1.2

$- 4 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.1.3

$6 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.1.4

$2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.1.5

$2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.3

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.4

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.4.4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 이고 합이 $b = - 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.4.4.1.1

$- 2 u$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 (u) + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.4.1.2

$- 2$ 를 $1$ + $- 3$ 로 다시 씁니다.

$\frac{2 x (- u^{2} + (1 - 3) u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x (- u^{2} + 1 u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.4.1.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x (- u^{2} + u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.4.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.4.4.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{2 x ((- u^{2} + u) - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{2 x (u (- u + 1) + 3 (- u + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.4.3

최대공약수 $- u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{2 x ((- u + 1) (u + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.5

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.7

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x ((1^{2} - x^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.4.8

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{4}}$

단계 2.1.2.5.5.2

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{4}}$

단계 2.1.2.5.5.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{4}}$

단계 2.1.2.5.5.4

$(1 + x) (1 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.6

$1 + x$ 및 ${(1 + x)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.6.1

$2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)$ 에서 $1 + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.6.2.1

${(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}$ 에서 $1 + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

단계 2.1.2.5.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

단계 2.1.2.5.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.7

$1 - x$ 및 ${(1 - x)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.7.1

$(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)$ 에서 $1 - x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

단계 2.1.2.5.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.7.2.1

${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}$ 에서 $1 - x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

단계 2.1.2.5.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

단계 2.1.2.5.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$

단계 2.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

단계 2.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

단계 2.2.3.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.2.3.3

$x^{2} + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.1

$x^{2} + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 3 = 0$

단계 2.2.3.3.2

$x^{2} + 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 3$

단계 2.2.3.3.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

단계 2.2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.2.3.1

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

단계 2.2.3.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

단계 2.2.3.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{3}$

단계 2.2.3.3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{3}$

단계 2.2.3.3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{3}$

단계 2.2.3.3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

단계 2.2.3.4

$2 x (x^{2} + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

단계 3

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{1 - x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$1 - x^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = - 1$

단계 3.2.2

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.2.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 3.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 3.2.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 3.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 3.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 3.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 1, - 1}$

구간 표기:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 1, - 1}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

괄호를 제거합니다.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

단계 5.2.1.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

단계 5.2.2.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 + 4)}^{3}}$

단계 5.2.2.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} \cdot 5^{3}}$

단계 5.2.2.4

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 5^{3}}$

단계 5.2.2.5

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 125}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 3)}{- 27 \cdot 125}$

단계 5.2.3.2

$16$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 27 \cdot 125}$

단계 5.2.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$- 27$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 3375}$

단계 5.2.4.2

$- 8$ 에 $19$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 152}{- 3375}$

단계 5.2.4.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$f'' (- 4) = \frac{152}{3375}$

단계 5.2.5

최종 답은 $\frac{152}{3375}$ 입니다.

$\frac{152}{3375}$

단계 5.3

$f'' (- 4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(- 1, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.5$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

괄호를 제거합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

단계 6.2.1.2

$2$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$1$ 에서 $0.5$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

단계 6.2.2.2

$- 1$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 + 0.5)}^{3}}$

단계 6.2.2.3

$1$ 를 $0.5$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} \cdot {1.5}^{3}}$

단계 6.2.2.4

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot {1.5}^{3}}$

단계 6.2.2.5

$1.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

단계 6.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 (0.25 + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

단계 6.2.3.2

$0.25$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.125 \cdot 3.375}$

단계 6.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$0.125$ 에 $3.375$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.421875}$

단계 6.2.4.2

$- 1$ 에 $3.25$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.5) = \frac{- 3.25}{0.421875}$

단계 6.2.4.3

$- 3.25$ 을 $0.421875$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.5) = - 7.\overline{703}$

단계 6.2.5

최종 답은 $- 7.\overline{703}$ 입니다.

$- 7.\overline{703}$

단계 6.3

$f'' (- 0.5)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 1, 0)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 1, 0)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

$(0, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.5$ 을 대입합니다.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

괄호를 제거합니다.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

단계 7.2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$f'' (0.5) = \frac{1 ({0.5}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

단계 7.2.2.2

${0.5}^{2} + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

단계 7.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$1$ 를 $0.5$ 에 더합니다.

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

단계 7.2.3.2

$- 1$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - 0.5)}^{3}}$

단계 7.2.3.3

$1$ 에서 $0.5$ 을 뺍니다.

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} \cdot {0.5}^{3}}$

단계 7.2.3.4

$1.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot {0.5}^{3}}$

단계 7.2.3.5

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

단계 7.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.1

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.5) = \frac{0.25 + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

단계 7.2.4.2

$0.25$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{3.375 \cdot 0.125}$

단계 7.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.5.1

$3.375$ 에 $0.125$ 을 곱합니다.

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{0.421875}$

단계 7.2.5.2

$3.25$ 을 $0.421875$ 로 나눕니다.

$f'' (0.5) = 7.\overline{703}$

단계 7.2.6

최종 답은 $7.\overline{703}$ 입니다.

$7.\overline{703}$

단계 7.3

$f'' (0.5)$ 이 양수이므로 그래프는 $(0, 1)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, 1)$ 에서 위로 오목함

단계 8

$(1, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

괄호를 제거합니다.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

단계 8.2.1.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

단계 8.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

단계 8.2.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - 4)}^{3}}$

단계 8.2.2.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(- 3)}^{3}}$

단계 8.2.2.4

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 {(- 3)}^{3}}$

단계 8.2.2.5

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 \cdot - 27}$

단계 8.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 3)}{125 \cdot - 27}$

단계 8.2.3.2

$16$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{125 \cdot - 27}$

단계 8.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.1

$125$ 에 $- 27$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{- 3375}$

단계 8.2.4.2

$8$ 에 $19$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{152}{- 3375}$

단계 8.2.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (4) = - \frac{152}{3375}$

단계 8.2.5

최종 답은 $- \frac{152}{3375}$ 입니다.

$- \frac{152}{3375}$

단계 8.3

$f'' (4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(1, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 9

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 1, 0)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, 1)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 10