미적분 예제

$\sin^{2} (x)$

단계 1

$\sin^{2} (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.1.1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.1.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \sin (x) \cos (x)$

단계 2.1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) \sin (x)$

단계 2.1.1.3.2

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

단계 2.1.1.3.3

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

단계 2.1.1.3.4

사인 배각 공식을 적용합니다.

$f' (x) = \sin (2 x)$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 2.1.2.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (2 x) \cdot 2$

단계 2.1.2.2.3.2

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $2 \cos (2 x)$ 입니다.

$2 \cos (2 x)$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $2 \cos (2 x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$2 \cos (2 x) = 0$

단계 2.2.2

$2 \cos (2 x) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2 \cos (2 x) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.2.2.2.1.2

$\cos (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

단계 2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\cos (2 x) = 0$

단계 2.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$2 x = \arccos (0)$

단계 2.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$2 x = \frac{π}{2}$

단계 2.2.5

$2 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$2 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 2.2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 2.2.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 2.2.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 2.2.5.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 2.2.5.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 2.2.6

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 2.2.7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.2.7.1.2

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.2.7.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.2.7.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 2.2.7.1.5

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.2.7.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 2.2.7.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 2.2.7.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 2.2.7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 2.2.7.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

단계 2.2.7.2.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 2.2.8

$\cos (2 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.2.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

단계 2.2.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 2.2.8.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 2.2.8.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 2.2.9

함수 $\cos (2 x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

단계 2.2.10

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

단계 5.2.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

단계 5.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 2$

단계 5.2.4

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6