미적분 예제

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.1.1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $- \frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.1.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.1.1.2.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

단계 2.1.1.2.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

단계 2.1.1.2.4.2

$- 2$ 와 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

단계 2.1.1.2.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

단계 2.1.1.2.4.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.4.1

$- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

단계 2.1.1.2.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

단계 2.1.1.2.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

단계 2.1.1.2.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

단계 2.1.1.2.4.4.2.4

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

단계 2.1.1.2.4.5

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

단계 2.1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$- (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3.3

$u$ 를 모두 $- \frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4

미분합니다.

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단계 2.1.2.4.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.2.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.2.2

$x$ 와 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.2.4.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.4.2

$- 2$ 와 $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 2.1.2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.2.8.2.1

$- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.2.8.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2.2.4

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1)$

단계 2.1.2.10

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}})$

단계 2.1.2.11

간단히 합니다.

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단계 2.1.2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2.1.2.11.2

항을 묶습니다.

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단계 2.1.2.11.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2.1.2.11.2.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2.1.2.11.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2.1.2.11.4

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 입니다.

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

단계 2.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 에서 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1.1

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 에서 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

단계 2.2.2.1.2

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 에서 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1 = 0$

단계 2.2.2.1.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1$ 에서 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1) = 0$

단계 2.2.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

단계 2.2.2.3

인수분해합니다.

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단계 2.2.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

단계 2.2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$

단계 2.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 2.2.4

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.4.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

단계 2.2.4.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

단계 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.2.4.2.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.2.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.2.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.2.6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.2.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.2.7

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 1$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

단계 5.2.1.2

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

단계 5.2.1.3

$16$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (- 4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

단계 5.2.1.4

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

단계 5.2.1.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (- 4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

단계 5.2.1.6

$16$ 와 $\frac{1}{e^{8}}$ 을 묶습니다.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

단계 5.2.1.7

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

단계 5.2.1.8

$16$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

단계 5.2.1.9

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

단계 5.2.1.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

단계 5.2.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (- 4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

단계 5.2.2.2

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4) = \frac{15}{e^{8}}$

단계 5.2.3

최종 답은 $\frac{15}{e^{8}}$ 입니다.

$\frac{15}{e^{8}}$

단계 5.3

$f'' (- 4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(- 1, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

단계 6.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

단계 6.2.1.3

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

단계 6.2.1.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 e^{0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

단계 6.2.1.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

단계 6.2.1.6

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

단계 6.2.1.7

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{0}{2}}$

단계 6.2.1.8

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = 0 - e^{- 0}$

단계 6.2.1.9

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

단계 6.2.1.10

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

단계 6.2.1.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 1$

단계 6.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 6.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 1, 1)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 1, 1)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

단계 7.2.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

단계 7.2.1.3

$16$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

단계 7.2.1.4

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

단계 7.2.1.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

단계 7.2.1.6

$16$ 와 $\frac{1}{e^{8}}$ 을 묶습니다.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

단계 7.2.1.7

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

단계 7.2.1.8

$16$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

단계 7.2.1.9

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

단계 7.2.1.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

단계 7.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

단계 7.2.2.2

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = \frac{15}{e^{8}}$

단계 7.2.3

최종 답은 $\frac{15}{e^{8}}$ 입니다.

$\frac{15}{e^{8}}$

단계 7.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(1, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(1, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 1, 1)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(1, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 9