미적분 예제

$\arctan (x)$

단계 1

$\arctan (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \arctan (x)$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 2.1.1.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

단계 2.1.2.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.1.2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

단계 2.1.2.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

단계 2.1.2.3.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

단계 2.1.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

단계 2.1.2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

단계 2.1.2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

단계 2.1.2.4.2.3

$x$ 와 $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.1.2.4.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

단계 2.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x = 0$

단계 2.2.3

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 2.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

단계 5.2.2.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

단계 5.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

단계 5.2.4

최종 답은 $\frac{4}{25}$ 입니다.

$\frac{4}{25}$

단계 5.3

$f'' (- 2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(0, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

단계 6.2.2.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

단계 6.2.3

최종 답은 $- \frac{4}{25}$ 입니다.

$- \frac{4}{25}$

단계 6.3

$f'' (2)$ 이 음수이므로 그래프는 $(0, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 8