미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{2} - x$ , $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.6

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.8

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.11

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.12

$2 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ 를 전개합니다.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.2.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.4

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.2.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.7

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.8

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.9

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.10

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.3

$- x^{2}$ 를 $6 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.4

$- 3 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.5

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.5.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.1.7

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.7.2

$- 3 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.2

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.2.2

$5 x^{2} - 11 x + 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.3

$5 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.4

$- 11 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.3.1

$4 x^{2} - 8 x + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.3.1.1

$4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.1.2

$- 8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.1.3

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.1.4

$4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.1.5

$4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.3.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 1.1.1.3.3.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.4.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$- 1, 4$

단계 1.1.1.3.4.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

단계 1.1.1.3.4.2

$(x - 1) (x + 4)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.5

${(x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

단계 1.1.2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ 을 ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

단계 1.1.2.1.2.2

${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 1.1.2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 4$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

단계 1.1.2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 4$ 로 바꿉니다.

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

단계 1.1.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

단계 1.1.2.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 1.1.2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 1.1.2.3.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

단계 1.1.2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

단계 1.1.2.3.5.2

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

단계 1.1.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1

$- 8$ 와 $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ 입니다.

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$8 = 0$

단계 1.2.3

$8 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$- 1, 4$

단계 2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

단계 2.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 2.2.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.2.4

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 2.2.4.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.2.5

$(x - 1) (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 4$

단계 2.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 1, - 4}$

구간 표기:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 1, - 4}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 4)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 6$ 을 대입합니다.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 6$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

단계 4.2.1.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$8$ 을 $- 8$ 로 나눕니다.

$f'' (- 6) = 1$

단계 4.2.2.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = 1$

단계 4.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 4.3

$f'' (- 6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 4)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(- 4, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

단계 5.2.1.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

단계 5.2.2

$8$ 및 $64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

$64$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

단계 5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

단계 5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

단계 5.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{8}$ 입니다.

$- \frac{1}{8}$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 4, 1)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 4, 1)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(1, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

단계 6.2.1.2

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

단계 6.2.2

$8$ 및 $512$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$512$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

단계 6.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

단계 6.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

단계 6.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{64}$ 입니다.

$- \frac{1}{64}$

단계 6.3

$f'' (4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(1, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 4, 1)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 8