미적분 예제

$f (x) = (x^{2} + 12) (4 - x^{2})$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{2} + 12$ , $g (x) = 4 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

단계 1.1.1.2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

단계 1.1.1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

단계 1.1.1.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

단계 1.1.1.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

단계 1.1.1.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

단계 1.1.1.2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

단계 1.1.1.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

단계 1.1.1.2.9

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + 0)$

단계 1.1.1.2.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x)$

단계 1.1.1.2.10.2

$4 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + 2 \cdot ((4 - x^{2}) x)$

단계 1.1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 (4 - x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + (2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x$

단계 1.1.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.4.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.4.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.4.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.4.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.4.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{3} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.4.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$f' (x) = - 2 \cdot x^{3} + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.4.3

$- 2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.4.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x + 2 (- x^{2}) x$

단계 1.1.1.3.4.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{2} x$

단계 1.1.1.3.4.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 (x \cdot x^{2})$

단계 1.1.1.3.4.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{1 + 2}$

단계 1.1.1.3.4.8

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{3}$

단계 1.1.1.3.4.9

$- 24 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 16 x - 2 x^{3}$

단계 1.1.1.3.4.10

$- 2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = - 4 x^{3} - 16 x$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $- 4 x^{3} - 16 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

단계 1.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

단계 1.1.2.2.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 16 x$ 의 미분은 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

단계 1.1.2.3.3

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 12 x^{2} - 16$ 입니다.

$- 12 x^{2} - 16$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 12 x^{2} - 16 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 12 x^{2} - 16 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $16$ 를 더합니다.

$- 12 x^{2} = 16$

단계 1.2.3

$- 12 x^{2} = 16$ 의 각 항을 $- 12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 12 x^{2} = 16$ 의 각 항을 $- 12$ 로 나눕니다.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{16}{- 12}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$16$ 및 $- 12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{4 (4)}{- 12}$

단계 1.2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.2.1

$- 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

단계 1.2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

단계 1.2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

단계 1.2.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

단계 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

단계 1.2.5

$\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$- \frac{4}{3}$ 을 $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1.1

$- 1$ 을 $i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

단계 1.2.5.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

단계 1.2.5.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

단계 1.2.5.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

단계 1.2.5.4

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

단계 1.2.5.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 1.2.5.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

단계 1.2.5.6

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

단계 1.2.5.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.7.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 1.2.5.7.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 1.2.5.7.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 1.2.5.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 1.2.5.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 1.2.5.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.2.5.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.2.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.5.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.5.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 1.2.5.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

단계 1.2.5.8

$i$ 와 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

단계 1.2.5.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

단계 1.2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

단계 1.2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

단계 1.2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} - 16$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 - 16$

단계 4.2.1.2

$- 12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 16$

단계 4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 16$

단계 4.2.3

최종 답은 $- 16$ 입니다.

$- 16$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

아래로 오목한 그래프

단계 5