미적분 예제

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x^{2}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

단계 1.1.1.2.3

$2$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 \sin (2 x)$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 입니다.

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

단계 1.1.1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 1.1.1.3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 1.1.1.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 1.1.1.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 1.1.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

단계 1.1.1.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

단계 1.1.1.3.6

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

단계 1.1.1.3.7

$2$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $20 x - 20 \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [20 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $20 x$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

단계 1.1.2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

단계 1.1.2.2.3

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 20 \cos (2 x)$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

단계 1.1.2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 1.1.2.3.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 1.1.2.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 1.1.2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 1.1.2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

단계 1.1.2.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

단계 1.1.2.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

단계 1.1.2.3.7

$- 2$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $20 + 40 \sin (2 x)$ 입니다.

$20 + 40 \sin (2 x)$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $20$ 를 뺍니다.

$40 \sin (2 x) = - 20$

단계 1.2.3

$40 \sin (2 x) = - 20$ 의 각 항을 $40$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$40 \sin (2 x) = - 20$ 의 각 항을 $40$ 로 나눕니다.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$40$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

단계 1.2.3.2.1.2

$\sin (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$- 20$ 및 $40$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.1

$- 20$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

단계 1.2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.2.1

$40$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

단계 1.2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

단계 1.2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

단계 1.2.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

단계 1.2.4

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

단계 1.2.5

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{6}$ 입니다.

$2 x = - \frac{π}{6}$

단계 1.2.6

$2 x = - \frac{π}{6}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$2 x = - \frac{π}{6}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

단계 1.2.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

단계 1.2.6.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

단계 1.2.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

단계 1.2.6.3.2

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{π}{6}$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

단계 1.2.6.3.2.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π}{12}$

단계 1.2.7

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

단계 1.2.8

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

단계 1.2.8.2

결과 각인 $\frac{7 π}{6}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$2 x = \frac{7 π}{6}$

단계 1.2.8.3

$2 x = \frac{7 π}{6}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.3.1

$2 x = \frac{7 π}{6}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

단계 1.2.8.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

단계 1.2.8.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

단계 1.2.8.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.3.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

단계 1.2.8.3.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.3.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

단계 1.2.8.3.3.2.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{7 π}{12}$

단계 1.2.9

$\sin (2 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 1.2.9.2

주기 공식에서 $b$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

단계 1.2.9.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 1.2.9.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 1.2.9.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 1.2.10

모든 음의 각에 $π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

$- \frac{π}{12}$ 에 $π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{12} + π$

단계 1.2.10.2

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{12}{12}$ 을 곱합니다.

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

단계 1.2.10.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.3.1

$π$ 와 $\frac{12}{12}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

단계 1.2.10.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

단계 1.2.10.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

단계 1.2.10.4.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{11 π}{12}$

단계 1.2.10.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{11 π}{12}$

단계 1.2.11

함수 $\sin (2 x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

단계 4.2.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

단계 4.2.1.3

$40$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 20 + 0$

단계 4.2.2

$20$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 20$

단계 4.2.3

최종 답은 $20$ 입니다.

$20$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 5