미적분 예제

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

단계 1

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.6

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.1.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.1.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.1.1.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.1.1.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

단계 2.1.1.10

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.1.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

단계 2.1.1.10.2

$2$ 와 $\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

단계 2.1.1.10.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

단계 2.1.1.10.4

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.2.1

$\frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

단계 2.1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

단계 2.1.2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.3.1

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

단계 2.1.2.3.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.3.3

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.4.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.6

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.8.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.8.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.9

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.2.9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.9.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.9.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.10

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.12

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.13

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.2.13.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.13.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.13.3

$- 2$ 와 $\frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.13.4

$\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.17

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.18

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.19

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.20

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 와 $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.22

지수를 더하여 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 에 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.2.22.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.22.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.22.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.22.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.22.5

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.23

${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.24

$x^{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.25

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

단계 2.1.2.26

$\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 에 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.27

지수를 더하여 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 에 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.2.27.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

단계 2.1.2.27.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

단계 2.1.2.27.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

단계 2.1.2.27.4

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.28

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

단계 2.1.2.29

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.30.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.30.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.30.3.1.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.3.1.2

$4 (3 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.30.3.1.2.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.3.1.2.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{2} + 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.3.1.3

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{2} + 12 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.3.2

$12 x^{2}$ 에서 $8 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{2} + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.4

$4 x^{2} + 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.30.4.1

$4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x^{2}) + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.4.2

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.2.30.4.3

$4 x^{2} + 4 \cdot 3$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 입니다.

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

단계 2.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 (x^{2} + 3) = 0$

단계 2.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$4 (x^{2} + 3) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$4 (x^{2} + 3) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.2.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.2.3.1.2.1.2

$x^{2} + 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + 3 = \frac{0}{4}$

단계 2.2.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x^{2} + 3 = 0$

단계 2.2.3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 3$

단계 2.2.3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

단계 2.2.3.4

$\pm \sqrt{- 3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.4.1

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

단계 2.2.3.4.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

단계 2.2.3.4.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{3}$

단계 2.2.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{3}$

단계 2.2.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{3}$

단계 2.2.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

단계 3

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} + 3)}{9 {({(0)}^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{4 (0 + 3)}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 5.2.1.2

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

단계 5.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

단계 5.2.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

단계 5.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{12}{9 \cdot 1}$

단계 5.2.3.2

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{12}{9}$

단계 5.2.3.3

$12$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = \frac{3 (4)}{9}$

단계 5.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

단계 5.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

단계 5.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

단계 5.2.4

최종 답은 $\frac{4}{3}$ 입니다.

$\frac{4}{3}$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

위로 오목한 그래프

단계 6