미적분 예제

$p (x) = \sqrt[3]{x}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.1.1.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

단계 1.1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 1.1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 1.1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 1.1.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

단계 1.1.1.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

단계 1.1.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

단계 1.1.1.8

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.8.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

단계 1.1.2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

단계 1.1.2.2.2

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

단계 1.1.2.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

단계 1.1.2.2.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

단계 1.1.2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

단계 1.1.2.3

$n = - \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

단계 1.1.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.1.2.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

단계 1.1.2.7.2

$- 2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

단계 1.1.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

단계 1.1.2.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

단계 1.1.2.10

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

단계 1.1.2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.11.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

단계 1.1.2.11.2

$x^{- \frac{5}{3}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

단계 1.1.2.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.1.3

$p (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 입니다.

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 1.2.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 미분값이 양수이므로 그래프는 아래로 오목합니다.

아래로 오목한 그래프

단계 4