미적분 예제

$f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.1.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$f' (x) = 1 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

단계 1.1.1.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 1.1.1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.1.1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.1.1.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 1.1.1.2.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 1.1.1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 1.1.1.2.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.1.1.2.9

$- 3$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.1.1.2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.2.11

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.2.12

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1.2.12.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

단계 1.1.1.2.12.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.2.12.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.1.2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

미분합니다.

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단계 1.1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.2.4

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 1.1.2.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.6

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.6.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.6.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.6.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.8

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.2.10.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.10.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.12

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.13

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.14

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 에 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.14.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.14.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.14.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.14.4

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.14.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.16

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.17

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.18

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

단계 1.1.2.2.19

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.1.2.3

$0$ 를 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 입니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 1.2.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

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단계 2.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$x - 3 \sqrt[3]{x^{1}}$

단계 2.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

단계 2.2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 미분값이 양수이므로 그래프는 위로 오목합니다.

위로 오목한 그래프

단계 4